La Constitución Española podría ser modificable en sus aspectos más protegidos pese al procedimiento agravado de cambio del Artículo 168 gracias a Gödel. Un día Gödel llamó a Morgenstern, muy agitado, y le dijo, en palabras del propio Morgenstern, que:"[…] había encontrado ciertas contradicciones lógicas internas [a la Constitución de los EEUU] y que podía demostrar cómo, de un modo perfectamente legal, sería posible para alguien convertirse en dictador y establecer un régimen fascista."

Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.

Un problema relativamente sencillo de aprendizaje automático pone a los investigadores contra una de las «cuestiones indecidibles» analizadas por el matemático Kurt Gödel. Los investigadores hallaron que el problema de la «aprendibilidad» de un algoritmo (learnability) —si un programa es capaz o no de extraer pautas generales a partir de un conjunto limitado de datos— se halla conectado con la hipótesis del continuo: una afirmación que Gödel probó imposible de demostrar verdadera o falsa a partir de las reglas habituales de las matemáticas.

Un requisito indispensable para poder disfrutar jugando al ajedrez –o al backgammon, al go o a las damas– es interiorizar las reglas y los movimientos básicos de las piezas. Salvando las distancias, algo semejante sucede con las matemáticas, cuyas normas de base se llaman axiomas o postulados.

Considere la siguiente frase: "Esta afirmación es falsa". ¿Es cierta? Si lo es, eso haría que el enunciado fuera falso. Pero si es falsa, entonces el enunciado es verdadero. Esta frase crea una paradoja irresoluble; si no es verdadera y no es falsa, ¿qué es? Esta pregunta llevó a un lógico a un descubrimiento que cambiaría las matemáticas para siempre. Marcus du Sautoy profundiza en el Teorema de Incompletitud de Gödel.

La historia de la audiencia de ciudadanía de Gödel se ha repetido mucho a lo largo de los años. Lo que se sabía era que el 5 de diciembre de 1947, Kurt Gödel fue a su audiencia de ciudadanía en Trenton, Nueva Jersey. El examinador fue el juez Philip Forman. Como testigos, Gödel trajo a sus dos amigos más cercanos, Oskar Morgenstern y Albert Einstein. A Gödel se le otorgó la ciudadanía y prestó juramento el 2 de abril de 1948. Esos fueron los hechos confiablemente establecidos.