balanza de dos platillos

¿Cuál es el menor número de pesas necesario para poder pesar cualquier peso de número entero de gramos menos o igual que 100 en una balanza de dos platillos?
Resolverlo en dos casos:
a) Las pesas sólo se pueden colocar en el platillo de la izquierda.
b) Las pesas se pueden poner en cualquiera de los dos platillos.

[#1 natrix]

Se puede hacer con una única pesa y una botella de agua.

[#2 fantomax]

#1 Supongamos que sólo las pesas, sin botellas de agua ni otro liquido.

[#3 tnt80]

Para el a) creo que sería 1 de 50, 2 de 20, 1 de 10, 1 de 5, 1 de 3, y 2 de 1

[#4 fantomax]

#3 Necesitas 8 pesas en total, si no me equivoco. Tengo una solución con menos pesas.

[#5 natrix]

#2 por lo pronto, se me ocurre que...
a) ...con un juego de pesas de 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64 se puede pesar todo hasta 127 gramos. 7 pesas.
b) ...con pesas 1, 3, 9, 27, 81 se puede pesar de uno en uno entre los dos platillos. 5 pesas.

[#6 --432809--]

#4 son ocho pesas las que indica @tnt80 ...

[#7 fantomax]

#5 ¿puedes demostrar que no se puede con menos de 7?
y si ya demuestras el de menos de 5 en b) premio mayor. También se puede explicar brevemente el b porque es menos intuitivo

[#8 natrix]

#7 No sé cómo demostrarlo

[#9 fantomax]

#8 Es más o menos combinatorio.

[#10 --432809--]

#3 creo que se puede hacer con 7 pesas: si te pasas de un solo gramo la balanza se inclina a la izquierda y si te quedas corto por un gramo se inclina a la derecha, con lo cual no necesitas dar con el peso exacto, así que 1 de 50, 2 de 20, 1 de 10, 1 de 5, 1 de 3, y 1 de 1 sería suficiente, siete pesas en total, ¿no? @fantomax

[#11 fantomax]

#10 Sí, se puede con 7, #5 cuenta cómo. La pregunta es si alguien puede demostrar que con 6 es imposible.

[#12 tnt80]

#4 Bueno, técnicamente también bastaría si en lugar de 2 de 1g fuese 1 de 2g si con todas menos la de 2 vemos que pesa menos el de la izquierda, y añadiendo la de 2 vemos que el de la izquierda pesa más (no igual, más) sabremos que pesa 99 g, por lógica , si pesan igual sabremos que pesan 100g ambos, y si pesa más de 100g el de la derecha, ya "no es nuestro asunto"

[#13 fantomax]

#5 Pista:
¿De cuántas maneras puedes colocar las pesas en ambos casos?

[#14 kra]

#5 se podría quitar el 1 en a)
si pesa menos de 2, pesa 1. y si pesa 3, ves que pesa menos que 4 y mas que 2. Y con los impares igual para todos.

[#15 natrix]

#14 Bien pensado.

[#16 natrix]

#13 Lo tengo oxidado, creo que es algo como combinaciones de 7 elementos tomados de 1 en 1, más combinaciones de 7 elementos tomados de 2 en 2, más tomados de 3 en 3, más de 4 en 4... más de 7 en 7:
En a)
C₇¹= 7
C₇²= 21
C₇³= 35
C₇⁴= 35
C₇⁵= 21
C₇⁶= 7
C₇⁷= 1
La suma de todas 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 127
Con 6 elementos:
C₆¹ + C₆² + C₆³ + C₆⁴ + C₆⁵ + C₆⁶ = 6 + 15 + 20 + 20 + 15 + 6 + 1 = 83 y no llega.

Y para b)
Tengo que pensarlo más...

[#17 fantomax]

#16 Esta es una manera de enfocarlo que es perfectamente correcta pero no ayuda a pensar el b. Hay un teorema que dice que Σ_i=0 ⁿC_i ⁿ =2ⁿ. Esto se traduce en que cada pesa puede estar en la mesa o en el platillo de la balanza.
Para b tenemos dos platillos y la mesa.

[#18 --165145--]

#6, eso ha dicho #4, que #3 ha indicado 8 pesas, pero que se puede hacer con menos.

[#19 --165145--]

#7, en realidad si sabemos que el objeto a pesar tiene un peso exacto en gramos, se puede con 6 y 4 ya que el peso de 1 gramo no hace falta si tenemos en cuenta lo que dice #12.

Por ejemplo el primer caso. Si el objeto pesa 27 gramos con los pesos de 2, 4, 8, 16 y 32 gramos podemos comprobar que pesa menos de 28 (4+8+16) y menos de 26 (2+8+16) por lo que aunque no podamos crear la pesada de 27, podemos deducir que pesa 27

Ya si lo que queremos es calcular la parte entera del peso (que si pesa 17.4 gramos quedarnos con 17) sí que nos debemos quedar con 7 y 5.

Por cierto, lo de demostrar que no se puede con menos, efectivamente es combinatorio, pero muchos de aquí quizá lo hagan más fácil si piensan en cambio de base (en particular en binario y ternario ).