Dos problemas de factoriales

Problema 1: Encontrar el primer número n para el que n! acaba en 1000 ceros

Problema 2: Encontrar una fórmula sencilla para la suma

1*1!+2*2!+3*3!+4*4!+...+n*n!


NOTA: n!= n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1

[#1 fantomax]

Sé la definición formal del factorial por recursividad, pero pongo la que es más asequible para los que no lo sepan, los que saben la recursiva no lo necesitan.

[#2 --449480--]

Para el primero, ha habido que multiplicar por 5 y por 2 mil veces. En 5! se ha hecho una vez; en 10!, dos veces; en 15!, tres…

Se puede pensar que en (5n)!, se ha multiplicado por 10 n veces. Pero no.

[#3 fantomax]

#2 Claro, en 25 no son 5 veces, sino 6.

[#4 tnt80]

La solución al 1 es el n=4005 creo
¿cómo saberlo?
Tras varias pruebas (y buscar una fórmula matemática que lo haga mejor, con incógnitas y tal, pero sin éxito), me di cuenta de que el número de ceros del factorial se puede resumir así:
Para n! haces:
n/5= x
si 'x' es mayor que 5 haces
x/5=y
si 'y' es mayor que 5 repites:
y/5
y así sucesivamente, hasta que sale un número que no sea mayor que 5, entonces sumas cada número ( 'x', 'y', 'z', los que salgan) y el resultado será el número de ceros que tiene ese factorial.
Eso ocurre porque, en la primera iteración, al dividir entre 5, obtenemos el número de lementos del factorial que son múltiplos de 5, con un solo factor, al volverlo a hacer, obtenemos los que lo son con dos factores, luego con 3, y así sucesivamente.
Como múltiplos de 2 siempre hay (todos los pares), y cada número cuyos factores primos contienen "más de un cinco", añaden un cero por cada 5, se cumple.
( Yo lo miré con los números hasta el 1500 y funcionaba, creo que será bastante, luego lo calculé )
Para el otro estoy pensando aún.

[#5 fantomax]

#4 Esta parte es correcta.
Faltaría quizá poner por ahí la expresión "parte entera de" en más de un sitio, pero eso son detallitos.

[#6 tnt80]

Para los 15 primeros números naturales se cumple que:
1*1!+2*2!+3*3!+4*4!+...+n*n! = n!+n*(n!)-2

[#7 --449480--]

1+4+18+96+600+…
1+2²+3²×2+4²×6+5²×24…
1²×0!+…+n²×(n-1)!

[#8 fantomax]

#6 Hay modos más elegantes de escribirlo, pero es un buen comienzo.

[#9 fantomax]

Pista, como suma telescópica sale bien, con un truquillo

[#10 --165145--]

#6, anda, saca n! factor común en los 2 primeros sumandos y mira que bonita queda tu expresión. Por cierto, ese -2 debería ser un -1.

[#11 tnt80]

#10 Pues en todas las pruebas que he realizado con el que me ha cuadrado ha sido con un -2

[#12 --165145--]

#11, a ver, para 1:

1*1!=1

Y con tu fórmula

1!+1*1!-2=1+1-2=0

Con 2 da 5 y con tu fórmula 4. Por cierto, tu fórmula sacando factor común queda

n!+n*n!-2=(n+1)*n!-2=(n+1)!-2

Aunque insisto, debería ser -1.

[#13 tnt80]

#12 Pues llevs razón, es -1, no -2 seguramente me liaría al sumar las columnas en el Calc (a saber qué acabaría yo sumando )
Y ya puestos, también se puede simplificar, como dices:
sería entonces:
1*1!+2*2!+3*3!+4*4!+...+n*n! = n!+n*(n!)-1 = n!(1+n) -1 = (n+1)! -1

[#14 fantomax]

Otra pista, se pueden expresar los coeficientes de otra manera y desdoblar en dos sumas. De ahí se saca la suma telescópica. Para que se cancelen términos, por supuesto, tendremos que meter signos -
#7 #13

[#15 tnt80]

#14 ¿entonces (n+1)!-1 no es la respuesta?

[#16 fantomax]

#15 lo es, es que no me entero nada, dónde lo has escrito?

[#17 fantomax]

#13 Perfecto, soy lela cuando estoy tan baja de fuerzas.

[#18 tnt80]

#17 Bueno, la escribí sólo "de chiripa", me puse a trastear con el problema en la hoja de cálculo, y me fije en varias casillas que coincidían en todo menos en el último número