Resolver problemas es un arte práctico, como nadar, esquiar o tocar el piano: sólo puedes aprenderlo por imitación y práctica. Un libro no puede ofrecerte una llave mágica que pueda abrir todas las puertas o resolver todos los problemas, pero puede darte buenos ejemplos y oportunidades de practicar: si quieres aprender a nadar necesitarás entrar al agua, si quieres ser capaz de resolver problemas tienes que resolver problemas.
Si quieres sacar provecho de tu esfuerzo, busca las particularidades de cada problema que puedan servir en los próximos. Una solución encontrada por ti o leída con interés y reflexión puede convertirse en un patrón, en un modelo que puedes imitar ventajosamente en problemas similares.
PISTA: llamando a = 1110 tengo que multiplicar a(a+1)(a+2)(a+3)= [a(a+3)][(a+1)(a+2)]
Se puede escribir esto como suma por diferencia, y claro, debería salir algo parecido a lo del término de la derecha de la igualdad en el enunciado. @tnt80
#4 tiene un poco de arte y creatividad, pero agrupados como están los términos que he puesto a multiplicar puedes ver la operación que sale. Si te lo doy hecho no tiene tanta gracia.
a*(a+3)= a²+3a
(a+1)*(a+2)=a²+3a+2
#8 pero son dos sumas que multiplicadas tienen un resultado fácilmente previsible.
Luego tenemos que darnos cuenta de que a=b³+b²+b, donde b es nuestra base de numeración, de la que hemos asumido que es mayor o igual que 6, para que el 5 no nos de problemas.
#9 Te digo hasta donde llego
Hacemos lo que has dicho:
- Hacemos a = 1110
- Con ello tenemos que la primera parte de la igualdad queda como: a(a+1)(a+2)(a+3)
- Hacemos, como has dicho [a(a+3)] [(a+1)*(a+2)] = [a2+3a][a2+3a+2]
- Hacemos la "triquiñuela" que dices:
[a(a+3)] [(a+1)*(a+2)] = [a2+3a+1-1][a2+3a+1+1]
Y aquí yo tengo que hacer:
b= (a2+3a+1)
Con lo que queda que:
[a(a+3)] [(a+1)*(a+2)] = (b-1)*(b+1) = b2-1
Pero da la casualidad que si sustituimos a=1110 en b tenemos 1235431
Con lo que hemos demostrado que la igualdad se da (en base 10 por lo menos)
#10 Sí, eso es, enhorabuena.
Se puede formalizar más el último paso poniendo en lugar de 1110 b³+b²+b, multiplicando se ve que sale b⁶+2b⁵+3b⁴+4b³+5b²+3b+1. Como cada coeficiente es menor que la base, que hemos supuesto 6 o mayor hemos terminado.
#11 De hecho, creo que eso se cumple siempre, quiero decir, en una ecuación, si tomamos los distintos valores numéricos como en una misma base (sin presuponer que hay que transformarlos a otra), las ecuaciones se siguen cumpliendo aunque la base cambie, siempre que supongas que todos los valores están en la misma y no sea menor que uno de los números
Quiero decir, un ejemplo rápido:
12+11=23
Pues bien, si es decimal, se cumple, pero si hacemos:
12(8)+11(8) = 23(8)
También es cierto
128 <1010> + 118 <910> = 238 <1910>
#13 Pero no sabría demostrarlo matemáticamente
Es más parece no ser cierto he encontrado que, por ejemplo con:
25+17 =42 no se cumple si lo pones en octal ::oops:
#14 más o menos llamando b a la base y trabajando con los polinomios. Hay que poner un "mayor o igual que" a las bases para evitar las "llevadas" y ya.
#15 No se cumple
2510+1710=4210
258<2110>+178<1510>!=428<3410>
(dio la puñetera casualidad que con los primeros que se me ocurrieron sí lo cumplían y me confié )
#16 Hay igualdades que se cumplen para bases mayores o iguales que una cota, pero si no respetas esa cota las cosas no funcionan. La idea es que ningún resultado parcial exceda la base y no haya que "llevarse" nada al orden superior
No puede ser 5 porque hay una cifra 5, claro.
Se puede escribir esto como suma por diferencia, y claro, debería salir algo parecido a lo del término de la derecha de la igualdad en el enunciado.
@tnt80
a*(a+3)= a²+3a
(a+1)*(a+2)=a²+3a+2
Estas cosas tienen algo en común, ahí lo dejo
a²+3a+1-1
Son dos términos muy parecidos, no?
Luego tenemos que darnos cuenta de que a=b³+b²+b, donde b es nuestra base de numeración, de la que hemos asumido que es mayor o igual que 6, para que el 5 no nos de problemas.
Hacemos lo que has dicho:
- Hacemos a = 1110
- Con ello tenemos que la primera parte de la igualdad queda como: a(a+1)(a+2)(a+3)
- Hacemos, como has dicho [a(a+3)] [(a+1)*(a+2)] = [a2+3a][a2+3a+2]
- Hacemos la "triquiñuela" que dices:
[a(a+3)] [(a+1)*(a+2)] = [a2+3a+1-1][a2+3a+1+1]
Y aquí yo tengo que hacer:
b= (a2+3a+1)
Con lo que queda que:
[a(a+3)] [(a+1)*(a+2)] = (b-1)*(b+1) = b2-1
Pero da la casualidad que si sustituimos a=1110 en b tenemos 1235431
Con lo que hemos demostrado que la igualdad se da (en base 10 por lo menos)
Se puede formalizar más el último paso poniendo en lugar de 1110 b³+b²+b, multiplicando se ve que sale b⁶+2b⁵+3b⁴+4b³+5b²+3b+1. Como cada coeficiente es menor que la base, que hemos supuesto 6 o mayor hemos terminado.
Quiero decir, un ejemplo rápido:
12+11=23
Pues bien, si es decimal, se cumple, pero si hacemos:
12(8)+11(8) = 23(8)
También es cierto
128 <1010> + 118 <910> = 238 <1910>
Es más parece no ser cierto
25+17 =42 no se cumple si lo pones en octal ::oops:
2510+1710=4210
258<2110>+178<1510>!=428<3410>
(dio la puñetera casualidad que con los primeros que se me ocurrieron sí lo cumplían y me confié