#41: «#37 Ojo con las propiedades de las potencias:
2·4^x=2·(2^2)^x =2·2^ (2x)=2^(x+1)
Hay que tener cuidado aplicando la jerarquía de las operaciones, en la que las potencias siempre se calculan antes que los productos.»
#38: «#37 No. No puedes hacer eso con potencias. Te pongo un ejemplo:
3^3 = 27.
2*(3^3) =/= (2*3)^3 = 6^3 = 216 =/= 2*27
Resumiendo, que 2 * (4^(x) + 4^(-x)) no es igual a (2*4)^(x) + (2*4)^(-x) sino a 2*(4^(x)) + 2*(4^(-x)) que es muy diferente.»
Menos mal, porque me estaba volviendo (más) gilipollas. Bueno, en realidad imaginaba que podría ser algo así, pero también pensaba que podía ser que no y... bah, da igual.
#8 Pues no se, es mas complicada de lo que esperaba.
Hay 2 cosas a lo que he llegado.
1. se convierte con sustitución una ecuación de tercer grado que ya es complicada de por si, a partir de la cual se tiene que resolver la potencia.
2. Se que 8^x + 8^(-x) = 7*2^x
Dado que x tiene 2 soluciones reales con bastantes decimales creo que #3 tiene razón. (aqui tirando un poco de herramientas externas)
Pero creo que con las solución que has dado estas troleando
#10 Nopes, pero es que yo no intento averiguar x en ningún caso, me dedico a calcular lo que me piden. he hecho una sustitución en ambas ecuaciones 2^x=t
#10#11 A ver, existe una única solución para x>0 ya que 4^x+4^(-2x) es monótona creciente y la imagen es [2, +oo]. Razonando análogamente, se ve que hay una única solución para x<0. Luego, es aplicar un algoritmo numérico para calcular las dos raíces y sustituir en la segunda expresión.
Y antes de que digáis nada, en el enunciado no se excluye el usar un método numérico, que os veo venir.
#37 Ojo con las propiedades de las potencias:
2·4^x=2·(2^2)^x =2·2^ (2x)=2^(x+1)
Hay que tener cuidado aplicando la jerarquía de las operaciones, en la que las potencias siempre se calculan antes que los productos.
t * (t + 1 / t) = t * 7
t2 + t / t = 7t
t2 + 1 = 7t
Cambio el 7t de lado, tengo una ecuación de segundo grado:
t2 + 1 - 7t = 7t - 7t
t2- 7t + 1 = 0
Sacamos la formula cuadratica y simplificamos:
t = (- (-7) ± √( (-7)2 - 4*1*1) ) / 2*1
t = (7 ± √(49-4)) / 2
t = (7 ± √(45)) / 2
Si lo calculamos, tenemos que t puede tener dos valores. Aproximadamente 6,86 y aproximadamente 0,14. Por comodidad, llamemos a estas dos variables u y v. Notese además que 1 / u = v, y por tanto 1 / v = u. Podría, por anto, resumirse a u y 1 / u.
Volvamos a la sustitucion para hallar el valor de x para u y 1 / u:
u = 4x
Tomamos logaritmos:
log u = log ( 4x )
Por la propiedad de los logaritmos, la potencia del logaritmo se extrae:
log u = x * log 4
x = log u / log 4
De nuevo, se puede calcular. Tengase en cuenta que esto es igual tanto para u como para 1 / u. Numéricamente, los resultados son, aproximadamente, 1,39 y -1,39. Por comodidad, llamemos a estos dos valores w y -w.
Vamos a la segunda ecuacion, y sustituimos:
8 ^ w + 8 ^ -w = ?
Llegados a este punto, se da uno cuenta de que las dos soluciones de las que partíamos son, en realidad, una ( 8 ^ w = 8 ^ ((w))). Si calculamos, veremos que da aproximadamente 17,94 y 0,06.
Si guardamos todos los valores sin aproximar hasta el final de la ecuación, nos da como resultado 18.
Llego tardísimo, pero se me ocurre una solución elegante (sin cálculo numérico ni expresiones complicadas resultantes de resolver la ecuación de segundo grado):
Partimos de 4x+4-x=7.
Elevamos al cubo y obtenemos:
43x+3·4x+3·4-x+4-3x=73=343.
Operando:
64x+64-x=343-3(4x+4-x)=343-3·7=322.
Por otro lado, sea 8x+8-x=K (desconocido de momento).
Elevamos al cuadrado:
82x+8-2x+2=K2.
Esto es:
64x+64-x=K2-2.
Igualando las dos expresiones de 64x+64-x obtenemos:
K2-2=322 -> K2=324 -> K=18 (asumimos que x es real y por tanto 8x+8-x es siempre positivo, descartando K=-18).
Y así queda demostrado que 8x+8-x=18. Después de obtener esta solución he visto que es muy parecida a la propuesta en #12, aunque esa solución hace primero la "raíz cuadrada" y luego el "cubo" (o sea, pasa del 4 al 2 y luego al 8 ), mientras que la mía sigue el orden inverso.