Me tomó dos años de duchas para darme cuenta. Sin embargo, no es la primera vez que publico una foto del piso de mi baño; comenzaré a prestar más atención a partir de ahora.
#21 Ponle nombre a los sujetos y lo verás mejor:
Un rectángulo blanco es a*b (lo que se trata de calcular)
a+b es el largo que mide en total los dos lados de ese rectángulo, que visualmente es donde se cruza un rectángulo blanco con otro a 90º.
Y a-b es el largo del rectángulo negro, lo que visualmente también está representado al ver que un rectángulo de largo a al tener otro "cruzado encima" de ancho b pues eso, que esa es la resta.
Y ahora al lío:
(a+b)^2 es la superficie de un rectángulo que visualmente ves como cuatro baldosas blancas "giradas sobre una negra", que incluye también la superficie de la negra.
(a-b)^2 es la superficie de la baldosa cuadrada negra que queda dentro
Pues de esta diferencia de ve que si le restas la baldosa negra a (a+b)^2 te quedas con cuatro baldosas blancas.
Así que de ahí se deduce que la superficie de una baldosa blanca es la cuarta parte de (a+b)^2-(a-b)^2
#8 Pues fíjate mejor porque lo que has puesto no es correcto.
(4+6)²=100
4*4*6+6²=132
Por pura lógica tu expresión no puede ser válida porque en la primera ambos valores son intercambiables y en la segunda no. Tu fórmula coincidirá con el valor correcto para algunos casos concretos de los valores de a y de b, pero en líneas generales no es válida.
#4 Entiendo que la fórmula expuesta es la expresión matemática de lo que intuitivamente se percibe al observar el dibujo. Sin embargo, me temo que si no se dispone de cultura matemática no es posible formular la intuición.
#11 En realidad eso tampoco es válido. Si cambiar los valores de 4 y de 6 del ejemplo mío de #10 la primera fórmula te sigue dando 100 pero la segunda te da 110.
#15 O tambien:
a = b
a^2 = ab
a^2 - b^2 = ab - b^2
(a + b)(a - b) = b(a - b)
(a + b)(a - b)/(a - b) = b(a - b)/(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = b/b
2 = 1
#37 Porque en este hilo no hablábamos de la multiplicación babilónica sino de la fórmula 4ab+b2 como solución a (a+b)2, que solo se cumpliría para a=2b; que en el dibujo de los azulejos supondría que el azulejo interior no fuera tan pequeño como para dejar huecos o tan grande como para solapar a los que forman el cuadrado exterior (esto último me faltó añadirlo en el comemtario al que contestabas).
#27 Sí, pero si la relación entre los lados fuera distinta a a=2b, el cuadrado resultante no sería b^2 sino (a-b)^2.
Tienes un lado largo de longitud a. Debajo, alineado, pones un rectángulo girado, por lo que se superpone con un lado de longitud b. El espacio restante para el cuadrado negro será a-b (al cuadrado).
#33 No es ninguna suposición. En este caso son iguales que lo que hace realmente es complicarlo porque no se ven tan claras las cosas. Pero si lo dibujas y haces el cuadrado negro más grande o más pequeño se cumple. Se cumple para cualquier valor.
Es más, si consideras que b>a el cuadrado (a-b)^2 pasa a ser (b-a)^2 que vale lo mismo, y se siguen cumpliendo todas las ecuaciones.
El dibujo de #29, que es cojonudo, muestra por qué el lado del cuadrado negro es a-b: Si te fijas en el blanco de arriba a la derecha tienes a en verde a la derecha y b en rojo un poco más a la izquierda. Pues claramente la línea azul un poco más a la izquierda, por ser paralela a ambas (y perpendiculares los puntos donde empiezan y acaban), mide a-b (sea cual sea el valor de a ó de b)
Esto es porque os conocéis la fórmula y funciona así con otros a y b, ¿verdad? Porque en el dibujo es "a al.cuadrado" (o b, el pequeño), ya que a = 2b en el suelo.
Pero en el caso particular de dividir entre cuatro, y teniendo en cuenta que usaban base 60, no es muy complicado. Si tienes suerte y todas las cifras son múltiplos de cuatro, sale enseguida. Por ejemplo, 40º20'16'' entre cuatro es 10º5'4''. Si no tienes tanta suerte sería cuestión de tomar lo que sobra e incorporarlo a la cifra siguiente como corresponda.
(No sé qué notación usarían los babilonios, pongo grados, minutos y segundos por poner algo en base 60 que todo el mundo conoce).
#16 ¿Por qué dices que quedan huecos? Se trata de usar 4 baldosas rectangulares de tamaño (a x b) por cada baldosa cuadrada de tamaño (a-b)x(a-b), que es exactamente el tamaño del espacio que queda en el medio de las cuatro baldosas, independientemente de los valores de a y b. Si fuera necesario que a=2b este sistema sería prácticamente inútil como método de multiplicación.
#24 lo de que el lado del cuadrado negro es a-b entiendo que es una suposición visual, pues el lado corto del cuadrado blanco (b) no tiene por qué ser igual al lado del cuadrado negro. En este caso a=2b, pero si no es asi, no me cuadra nada, no?
#10 Creo que en general, la ecuación que establece la noticia es solución particular para ese caso. Atendiendo a la posición, proporción y relación entre los azulejos como solución particular.
(a - b)2 es el área del cuadrado negro.
a x b es el área de un rectángulo blanco.
Un rectángulo blanco es a*b (lo que se trata de calcular)
a+b es el largo que mide en total los dos lados de ese rectángulo, que visualmente es donde se cruza un rectángulo blanco con otro a 90º.
Y a-b es el largo del rectángulo negro, lo que visualmente también está representado al ver que un rectángulo de largo a al tener otro "cruzado encima" de ancho b pues eso, que esa es la resta.
Y ahora al lío:
(a+b)^2 es la superficie de un rectángulo que visualmente ves como cuatro baldosas blancas "giradas sobre una negra", que incluye también la superficie de la negra.
(a-b)^2 es la superficie de la baldosa cuadrada negra que queda dentro
Pues de esta diferencia de ve que si le restas la baldosa negra a (a+b)^2 te quedas con cuatro baldosas blancas.
Así que de ahí se deduce que la superficie de una baldosa blanca es la cuarta parte de (a+b)^2-(a-b)^2
Línea roja: B
Línea azul: A-B
(4+6)²=100
4*4*6+6²=132
Por pura lógica tu expresión no puede ser válida porque en la primera ambos valores son intercambiables y en la segunda no. Tu fórmula coincidirá con el valor correcto para algunos casos concretos de los valores de a y de b, pero en líneas generales no es válida.
4ab +
b^2= a^2 +b^2+ 2ab4ab - 2ab= a^2
2ab=a^2
2b=a
a x b = [(a+b) x (a+b) - (a-b) x (a-b)] / 4
Joder, es más fácil hacer a x b directamente.
#12 Pero pasamos un rato entretenido.
Cc #10
Si no tienes a=2b no puedes tapar todo el suelo con los azulejos, quedan huecos, por eso no funcionaría la formula de #8 para todo a o b.
a = b
a^2 = ab
a^2 - b^2 = ab - b^2
(a + b)(a - b) = b(a - b)
(a + b)(a - b)/(a - b) = b(a - b)/(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = b/b
2 = 1
Tienes un lado largo de longitud a. Debajo, alineado, pones un rectángulo girado, por lo que se superpone con un lado de longitud b. El espacio restante para el cuadrado negro será a-b (al cuadrado).
Es más, si consideras que b>a el cuadrado (a-b)^2 pasa a ser (b-a)^2 que vale lo mismo, y se siguen cumpliendo todas las ecuaciones.
El dibujo de #29, que es cojonudo, muestra por qué el lado del cuadrado negro es a-b: Si te fijas en el blanco de arriba a la derecha tienes a en verde a la derecha y b en rojo un poco más a la izquierda. Pues claramente la línea azul un poco más a la izquierda, por ser paralela a ambas (y perpendiculares los puntos donde empiezan y acaban), mide a-b (sea cual sea el valor de a ó de b)
(a - b)2 es el área del cuadrado negro
Esto es porque os conocéis la fórmula y funciona así con otros a y b, ¿verdad? Porque en el dibujo es "a al.cuadrado" (o b, el pequeño), ya que a = 2b en el suelo.
De otra forma no lo veo.
es.wikipedia.org/wiki/Matemática_babilónica#Aritmética
Pero en el caso particular de dividir entre cuatro, y teniendo en cuenta que usaban base 60, no es muy complicado. Si tienes suerte y todas las cifras son múltiplos de cuatro, sale enseguida. Por ejemplo, 40º20'16'' entre cuatro es 10º5'4''. Si no tienes tanta suerte sería cuestión de tomar lo que sobra e incorporarlo a la cifra siguiente como corresponda.
(No sé qué notación usarían los babilonios, pongo grados, minutos y segundos por poner algo en base 60 que todo el mundo conoce).