Divisible por 8640

Damos valores numéricos enteros al polinomio
P(x)=x⁹-6x⁷+9x⁵-4x³
Y siempre nos sale un número divisible por 8640. ¿Hay algún entero para el que no sea así?

[#1 --165145--]

Bonito problema. Gente, es más fácil de lo que parece. En las etiquetas hay buenas pistas.

[#2 fantomax]

#1 Suelo poner pistas en las etiquetas.

[#3 tnt80]

El 1 y el 2 así como el -1 y el -2 con ninguno de ellos sale algo que divisible por 8640

[#4 fantomax]

#3 ¿Cómo? ¿Qué te sale? 1, 2, -1 y -2 deberían ser raíces del polinomio si no me he equivocado, y el 0 es siempre divisible por cualquier entero no nulo.

[#5 --432809--]

#4 factorizando el polinomio da P(x) = x³ (x - 2) (x - 1)² (x + 1)² (x + 2)

con lo cual 0, 2, 1, -1 y -2 son ráices (dan como resultado cero) y por lo tanto es divisible por cualquier entero

ahora falta por saber si existe algún entero x tal que P(x) no sea múltiplo de 8640

[#6 fantomax]

#5 Efectivamente esa es la factorización. Si factorizas 8640 tendrás una nueva pista de qué debes buscar en la factorización del polinomio.

[#7 --432809--]

#6 factorizando que es gerundio: 8640 = 2⁶*3³*5

y a fuerza bruta probando con los mil primeros enteros todos dan como resultado un múltiplo de 8640

www.wolframalpha.com/input/?i=Table[(x^9+-+6+x^7+++9+x^5+-+4+x^3)/8640

tiene toda la pinta de que no hay ningún entero en el que el resultado no sea múltiplo de 8640, a ver si alguien es capaz de demostrarlo matemáticamente

[#8 fantomax]

#7 No hace fata fuerza bruta . Necesitas agrupar los factores del polinomio de tal modo que te ayuden a ver si hay o no múltiplos de 3 d 2 o de 5 en cantidad suficiente. La primera te la doy yo, para n entero, n-2,n-1,n,n+1 y n+2 son enteros consecutivos, por tanto uno de ellos es múltiplo de 5
y su producto también lo será. Si tocara que el exponente de este factor fuera mayor que 1 sería múltiplo de 5² o 5³, pero basta con 5 a secas.

Te juro que siempre es múltiplo de lo que digo, así que hay que centrarse en demostrarlo.

[#9 --432809--]

#8 vale, ya está

queda demostrado que el resultado siempre es múltiplo de 5 (lo has demostrado tú en tu comentario)

también siempre será múltiplo de 2⁶ porque :

1) si n es par entonces n³ es par, n-2 es par y n+2 es par, con lo cual para n >2 ya tienes potencia 6 como mínimo
2) si n es impar entonces n-1 es par y n+1 es par, con lo cual para n>2 también tienes potencia 6 como mínimo

y también será siempre múltiplo de 3³ porque:

1) si n es múltiplo de 3 solo con el x³ ya has cumplido
2) si n no es múltiplo de 3 hay dos opciones
2.1) (n-1) y (n+2) son múltiplos de 3 y ya tienes potencia 3 como mínimo
2.2) (n-2) y (n+1) son múltiplos de 3 y también tienes potencia 3 como mínimo

Con lo cual el resultado siempre es a la vez múltiplo de 3^3 de 2^6 y de 5 y por lo tanto siempre será múltiplo de 8640.

[#10 fantomax]

#9 1) si n es par entonces n^3 es par, n-2 es par y n+2 es par, con lo cual para n >2 ya tienes potencia 6 como mínimo tienes ahí que es 2⁵ para la sexta hay que ver que alguno de los pares es múltiplo de 4=2²
2) si n es impar entonces n-1 es par y n+1 es par Igualmente en este caso hay que notar que uno de ellos es múltiplo de 4=2²



Para los múltiplos de 3 a mí me gusta agrupar los factores así:
(x-2)(x-1)x
(x-1)x(x+1)
x(x+1)(x+2)
Claramente esta es la descomposición de mi polinomio.
Cada una de las lineas tiene 3 enteros consecutivos, por lo que uno de ellos es múltiplo de 3, y en su conjunto de 3³
En cualquier caso tu razonamiento es correcto.

[#11 --432809--]

#10 sí, es más elegante plantearlo así

[#12 fantomax]

#11 Enhorabuena, bien resuelto.