Acertijos y problemas

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Un número muy divisible

Encontrar el único número que escrito en base 10 usa cada cifra exactamente una vez y tomadas sus primeras n cifras desde la izquierda, el número formado es múltiplo de n.

Es decir, si el número fuera 1234567890
1 debería ser múltiplo de 1
12 debería ser múltiplo de 2
123 debería ser múltiplo de 3
1234 debería ser múltiplo de 4
...
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Divisibilidad de polinomios

Encontrar el número a para el que el polinio x2-x-a divide exactamente a x13+x+90
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Divisible por 8640

Damos valores numéricos enteros al polinomio
P(x)=x⁹-6x7+9x⁵-4x³
Y siempre nos sale un número divisible por 8640. ¿Hay algún entero para el que no sea así?
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Tres marineros y un mono

Tres marineros y un mono

Tres marineros y un mono vivían en una isla. Una tarde los marineros recogieron todos los cocos que pudieron encontrar y los colocaron formando un gran montón. Agotados después de tan duro trabajo, decidieron esperar a la mañana siguiente para dividirlos en partes iguales.
Durante la noche, un marinero se despertó y separó los cocos en tres partes iguales, dejando aparte uno que sobraba, que dio al mono. Cogió un montón, lo enterró y, juntando los otros dos que quedaban, se fue a la cama. Esto mismo hicieron a continuación los otros dos marineros, cada uno de los cuales realizó exactamente la misma operación. A la mañana siguiente, los cocos que
quedaban fueron divididos en partes iguales entre los marineros, sobrando uno, que le dieron al mono.
¿Cuál es el mínimo número de cocos que tuvieron que recolectar?
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Modificando un múltiplo de 3

Tomo un múltiplo de 3 que se escribe con dos cifras en base 10. Introduzco un 0 entre las cifras y sumo a este resultado el doble de su cifra de las centenas. El número obtenido al final de todas estas operaciones es nueve veces el original. ¿De qué número partí?
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¿Cuantos centros participan en la carrera?

Este problema es muy fácil, espero que participen hasta los peques de cada casa.
En una competición participan varias escuelas, cada una de las cuales envía 3 corredores. De mi cole enviamos a Juana, Pedro y Lucas

* Juana terminó justo en la posición intermedia de todos los participantes
* Pedro fue nuestro siguiente clasificado, quedó el 18º
* Lucas tuvo una pequeña lesión y terminó el 28º

No nos fue tan bien como esperábamos, pero lo pasaron estupendamente e hicieron amigos de muchos coles, ¿de cuántos?
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menéame