¿Qué pasa si nos encontramos con una ecuación que no sabemos resolver con las fórmulas o métodos sencillos que conocemos? Que tendremos que buscar aproximaciones de las soluciones que nos sirvan para nuestro problema, y esto mismo es lo que hace el método numérico de Newton. ¿Quieres saber cómo?
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etiquetas: método de newton , ecuaciones
Teorema de tales : "prohibido joder en los portales"
Aunque claro, luego han llamado a la puerta pi y e, y me he caído de mi nube.
Sobre irracionales, yo me quedé en que no son fracción de dos enteros, pero buscando un poco:
"En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción m⁄n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero.1 Es cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica"
Fuente: es.wikipedia.org/wiki/Número_irracional
la parte de las matemáticas que estudia los enteros (exactos) se llama matemática discreta.
Para evitar usar decimales utilizamos el cálculo modular, que básicamente es utilizar el resto de una división como un entero. Esto evita muchísimos errores por dar accidentalmente con un irracional.
Ejemplo :
7/3 es 2,33333...4 pero evitas perder el infinitesimal haciendo lo siguiente :
7 es lo mismo que 3*2+1.
Dicho de otro modo, es congruente con 1mod3.
>>> x=3.5972850235404176;x**x
99.99999999999999
>>> x=3.5972850235404177;x**x
100.00000000000009
Una cosa es aprender cómo funciona internamente un compilador (analizador léxico, sintáctico, semántico, etc.) aunque sean conocimientos que nunca los vayas a usar profesionalmente programando, pero es una herramienta que sí usas, y otra chaladuras que ni te van ni te vienen.
Y fue importante porque de todos estos datos se benefició su principal discípulo, Johannes Kepler. Su siglo, el siglo 17, fue muy especial. En él se desarrolló el telescopio: a partir de la idea primigenia del catalán Joan roget, los fabricantes de lentes holandeses y, más tarde, el talento de un genio como Galileo. Esto permitió a Kepler tomar datos más precisos y de más cuerpos celestes, siguiendo la disciplina de su maestro.
Sin embargo, el procesamiento de tal cantidad de datos (enormes multiplicaciones y divisiones para los cálculos planetarios) era inabarcable. Una tarea que llevaría varias vidas sino aconteciese otra maravillosa coincidencia, la aparición en escena de un noble escocés (y matemático) hasta entonces desconocido: John Naiper. Este señor se inventó una herramienta, el logaritmo, que permitía transformar las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas y las potencias en multiplicaciones. Algo que en una época sin calculadoras suponía un considerable ahorro de tiempo. Laplace dijo una vez que gracias a los logaritmos se dobló la vida de los astrónomos.
Todo esto permitió a Kepler llegar a una conclusión disparatada, sin ningún desarrollo matemático, sólo con la mera acumulación de datos: si elevamos al cuadrado el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta alrededor del sol, será proporcional al cubo de la distancia del semieje mayor de la elipse (r) que describe al rodearlo: T^2=kr^3.
Y pasado un tiempo, unas décadas más tarde (pasada la mitad del siglo 17), otro británico, Isaac Newton, se propuso un desafío único: unir la leyes físicas terrestres y celestes, usando las mismas ecuaciones y principios. Para ello echó mano de la mecánica clásica y, con sólo 4 ecuaciones (F=m*a, a=mv^2/r, v=w*r, w=2pi/T) y de forma muy sencilla (trivial para cualquier estudiante de bachiller), llegó a la siguiente expresión: F=m*4*pi^2*r/T^2. En apariencia un camino sin salida.
Sin embargo, en ese punto, recordó que un señor hacía 30 años había vinculado el período con el radio orbital, de forma absolutamente empírica, Y así, gracias a Kepler (y gracias a John Naiper y gracias Tycho Brahe, y gracias a Galileo, y gracias a Joan Roget), Newton produjo su idea más maravillosa: introdujo en su ecuación la expresión de Kepler y dedujo que la constante que le quedaba debería ser proporcional a la masa del sol (4pi^2/k = G*M). Una proporcionalidad que debía estar dada por una constante que él desconocía pero que predijo, la constante de la gravitación universal (la calcularía después cavendish con su famosa balanza de torsión):
F=m*4*pi^2/r + T^2=kr^3, dio lugar a: F= (4pi^2/k)*m/r^2, que remató en: F = G*M*m/r^2
Esa es la historia completa del cuadrado de la distancia. Siento la chapa.
* (c) M. Rajoy
Lo cuenta para justificarse por incluir la única que aparece en el libro: E = mc²
#35 era por darle una breve aclaración física a #3, al que se te ha olvidado citar.
La ley de Gravitación Universal no es perfecta en el sentido que tú expones. Si quieres seguir leyendo, te lo explico con mucho gusto:
Se ha determinado que la fuerza con la que se atraen 2 cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos, pero ...
... cuando introducimos los valores de cada magnitud (masa, distancia) en las unidades que hemos establecido arbitrariamente (kg, m), obtenemos para la fuerza de atracción un valor numérico que es un churro: no tiene nada que ver con la realidad
Buscamos un factor por el que multiplicar la expresión para que todo cuadre. Este factor es, aproximadamente, 0,00000000006674 (en unidades del Sistema Internacional) y, probablemente, tendrá infinitos decimales ... y ¡voilá! Ahora todo encaja perfectamente
Es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado.
Depende de una proporción que parece ser aleatoria y que no sabemos con exactitud como es pero que parece que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten 3,14159....
Normalmente la primera parece mas bonita. Uno puede pensar que la naturaleza es perfecta porque muchas cosas se pueden explicar con esferas, senos y cosenos, pero otro puede pensar que es un caos, ya que las esferas, los senos y los cosenos dependen de una proporción aleatoria.
Bueno pues lo llamos Pi, le ponemos nombre de letra y ya nos engañamos y paree que es todo está ordenado.
La ley de Gravitación Universal no es perfecta en el sentido que tú expones. Si quieres seguir leyendo, te lo explico con mucho gusto:
Se ha determinado que la fuerza con la que se atraen 2 cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos, pero ...
... cuando introducimos los valores de cada magnitud (masa, distancia) en las unidades que hemos establecido arbitrariamente (kg, m), obtenemos para la fuerza de atracción un valor numérico que es un churro: no tiene nada que ver con la realidad
Buscamos un factor por el que multiplicar la expresión para que todo cuadre. Este factor es, aproximadamente, 0,00000000006674 (en unidades del Sistema Internacional) y, probablemente, tendrá infinitos decimales ... y ¡voilá! Ahora todo encaja perfectamente
Además evidentemente con un ordenador te resuelve ambas formas en nada, pero cuando tienes que aplicar esto muchas veces pues es importante la velocidad de convergencia.
Por cierto, para evitar el problema de la derivada se puede aplicar el método de la secante, que también converge muy rápido (bisección orden 1, Newton 2, secante (1+raíz (5))/2=1.7...).
Al final, lo que mejor recuerdo de cuando estudié métodos numéricos, es que hay chorrocientos, cada uno con sus ventajas y sus puntos débiles, y tienes que conocerlos todos para poder elegir el más adecuado en cada situación
www.keesvandersanden.nl/calculators/hp_journals/HP_Journal_7912_Person
Me hace gracia el apartado en el que dice más o menos:
Mientras que la función SOLVE mejora la capacidad de cálculo del usuario también obliga a su usuario a utilizarlo con prudencia.
Y aquí está el dilema de Hewlett-Packard. La empresa no puede permitirse un esfuerzo masivo para educar al público en el análisis numérico. Sin embargo, sin un esfuerzo de este tipo, la mayoría de los compradores potenciales no se darán cuenta del valor que SOLVE tiene para ellos. Y sin más esfuerzo, muchos compradores reales pueden culpar a su calculadora por problemas que son intrínsecos a los problemas que están tratando de resolver...
Eran otros tiempos.