Sabiendo la fórmula del cono y del cilindro, y con la ayuda solamente de un plano imaginario, Arquímedes fue capaz de deducir la fórmula de la esfera...¿sabes como lo hizo?
El de el cilindro es fácil, un cilindro (edit mistake) no es más que un cubo, pero la base es redonda. La ecuación es base*altura, pero base es pi*r2, y si la altura es r entonces el volumen es pi*r3
En cuanto a la del cono. No he encontrado una demostración simple. Se puede demostrar revolucionando un triángulo www.youtube.com/watch?v=ND0j1VKakbg ¿Lo malo? Se necesitan utilizar integrales, algo que no existía en esa época. No me parece una locura que lo averiguara experimentalmente, o más bien lo intuyera y luego hiciera números. Estoy seguro de que debe haber una demostración "simple". (Se me ocurre por donde empezar, pero ya es tarde y no me voy a poner a eso).
Esfera ok,
Cilindro ok,
La del cono es la única con la que me queda la curiosidad. ¿Algún matemático sin sueño en la sala?
(Por fin le he encontrado un adecuado uso a sub y sup)
#10 y #11 Grande vuestra aportación: deberíais preguntar al autor del post, igual le interesa actualizarlo para incluir esta cuestión.
Está claro el caso del cilindro, como dice #10. El del cono, asumiendo que es un cono recto (como el que usó Arquímedes) y con base de radio R igual a la del cilindro, parece resuelto gracias a la observación de #11. Es muy intuitivo. Habría que enterarse de si Arquímedes usó el mismo razonamiento.
EDITO: Para agradecer también la aportación de #12, parece que fue el método usado por Arquímedes según la Wikipedia.
#10 Yo había pensado más o menos lo mismo que tu. Y como dices, lo de las integrales no se conocia en época de Arquímedes... sin embargo, recuerdo claramente como en su momento, mi profesor de matemáticas, nos comentó que en cierto modo, Arquímedes fue el primero en usarlas... De todos modos, esto deja claro que el volumen del cono no es tan trivial. Fascinante...
#10 Un matematico no daria validez a esa demostracion ni a la mayoria de demostraciones de los matematicos antiguos, aunque tengan una apariencia de validez, no son rigurosas y suelen utilizan algun supuesto no demostrado, y por lo tanto tal como fueron expuestas no son validas.
Bueno en realidad un matematico actual ni siquiera da validez a muchas demostraciones y teorias de los fisicos, ya que usan razonamientos y manipulaciones matematicas sin ningun tipo de rigurosidad matematica real. Lo peor es que muchos fisicos creen que las matematicas que usan estan "bien".
Los matematicos estan espantados de lo que hacen los fisicos .
#29 Álgo me suena, tambien me suena que se baso en postulados "evidentes" y por lo tanto que no necesitaban demostracion. Casualmente mucho mas tarde se vio que algunos no eran tan evidentes.
#24 La matematica esta por encima de la fisica. Creo que los fisicos saldrian tarados de ver matematica avanzada que ni siquiera es aplicable al mundo real, pero es valida.
#31 Yo algo con lo que alucino fuertemente es con el uso inapropiado de la palabra dimensión y el concepto al que se refiere, y como generalmente lo que para nosotros (los matemáticos) en teoría de cuerdas es precisamente un artificio matemático para hacer encajar determinados subconjuntos que deben existir en dicho modelo para muchos físicos terminan siendo auténticas dimensiones espaciales algo completamente alocado. (No digo para todos).
#10 Afirmas muy a la ligera lo de base por altura. Si bien nos parece "que se ve" no es tan trivial. En lo cotidiano nosotros multiplicamos cosas u objetos cuando son iguales en dimensión. El problema es que aquí estamos diciendo que h áreas es un volumen. Para nada trivial. Si tuviésemos h cubitos de volumen n cada uno y los sumásemos pues si, conformarían un volumen de n*h ¿Pero como dar el salto de manera formal de áreas a volúmenes pasando por la multiplicación? (El truco realmente está en la sumas infinitas no discretas, osea, básicamente y a grosso modo sin entrar en detalles, usar la integral).
#34 Es que los matemáticos al proponer dimensiones no las trazáis en el papel. Directamente :
hipotenusa = sqrt(a^2+a^2)
diagonal del cubo = sqrt(a^2+a^2+a^2) = sqrt(3)*a
diagonal de la cosa inimaginable de cuatro dimensiones: sqrt(a^2+a^2+a^2+a^2) = sqrt(4)*a
#20 Es verdad que se entiende mejor en la fuente original. Falta en este artículo hacer incapié en que la altura del cono es igual al radio de la base (y al radio de la esfera). Por consiguiente la generatriz forma un ángulo de 45º con la altura, lo que significa que por cada medida que descendamos desde el vértice del cono, el radio de la sección será de esa misma medida.
Se puede deducir también en este artículo (sobretodo a la vista del dibujo), pero no está de más aclararlo expresamente.
#24utilizan algun supuesto no demostrado
¿Te refieres a algún axioma?
Ahora en serio, no hay que quitar valor a demostraciones como estas. De hecho, si aplicamos tu baremo estrictamente, resulta que el invento del cálculo infinitesimal por parte de Newton y Leibnitz no tiene rigor alguno, ya que el concepto de límite se desarrolló muy posteriormente.
Además, aunque no lo especifica en el artículo, seguramente Arquímedes ya sabía previamente cuál era el volumen de la esfera (algo bastante fácil de averiguar usando otro de los descubrimientos que lo han hecho famoso) por lo que no es de extrañar que primero viniera la observación de la coincidencia con el cono y el cilindro y luego buscara la forma de visualizarlo, es decir, un método bastante más inductivo y práctico que las ideas platónicas que solemos tener sobre el funcionamiento de la mente de los matemáticos.
#37 y con "sobretodo" me refería, por supuesto, a la prenda de vestir, que también puede llevar a equívocos
Se agradecen las correcciones. En parte por eso me he convertido en meneísta a pesar de que la ideología dominante es tan contraria a la mía. Pero se tiene en consideración la corrección ortográfica, lo cual no es común en los foros de Internet.
#41 Tienes razon los infinitesimales se han usado, especialmente por los fisicos, porque eran practicos y parecian funcionar, pero matematicamente como bien dices sin rigor alguno, no fue hasta la decada de los 60 del siglo pasado, que se pudo justificar formalmente (con el uso de numeros hiperreales) que esas operaciones con infinitesimales eran validas. En matematicas no valen demostraciones practicas, ni demostraciones con un 99% de fiabilidad, tienen que ser del 100% sino no son demostraciones validas.
En el ejemplo que pones, que arquimedes ya supiese el resultado de antemano por experimentos es indiferente, no añade ningun rigor a a la demostracion, como mucho apunta en la direccion de que la demostracion no tiene porque ser falsa, pero en ningun momento demuestra que es correcta.
Actualmente muchos fisicos usan esos infinitesimales, pero creen que funcionan por las razones equivocadas, generalmente solo un matematico te podra justificar correctamente y con rigor porque esas operaciones y manipulaciones matematicas son correctas.
#50 De hecho lo que comento de que Arquímedes ya sabía el resultado de antemano no es por reforzar la demostración (cosa que por supuesto no hace, ya que nunca se podría estar seguro de que el valor es exacto y no aproximado), sino por aclarar que el origen las ideas matemáticas en ocasiones es mucho menos platónico de lo que parece, y hay bastante de inducción en ellas, es decir, de recurrir a la experiencia en lugar de partir de principios generales, aunque a posteriori, una vez que ya se tiene algo que "funciona", se puedan urdir sistemas axiomáticos que tengan todo el rigor que se desee.
El de el cilindro es fácil, un cilindro (edit mistake) no es más que un cubo, pero la base es redonda. La ecuación es base*altura, pero base es pi*r2, y si la altura es r entonces el volumen es pi*r3
En cuanto a la del cono. No he encontrado una demostración simple. Se puede demostrar revolucionando un triángulo www.youtube.com/watch?v=ND0j1VKakbg ¿Lo malo? Se necesitan utilizar integrales, algo que no existía en esa época. No me parece una locura que lo averiguara experimentalmente, o más bien lo intuyera y luego hiciera números. Estoy seguro de que debe haber una demostración "simple". (Se me ocurre por donde empezar, pero ya es tarde y no me voy a poner a eso).
Esfera ok,
Cilindro ok,
La del cono es la única con la que me queda la curiosidad. ¿Algún matemático sin sueño en la sala?
(Por fin le he encontrado un adecuado uso a sub y sup)
Volumen del cono = (1/3)pi*r3
Volumen del cilindor = pi*r3
La afirmación es correcta, pero ¿cómo llegas hasta ella?
es.wikipedia.org/wiki/Método_exhaustivo
No es un método tan riguroso como el cálculo infinitesimal, pero le sirvió.
Está claro el caso del cilindro, como dice #10. El del cono, asumiendo que es un cono recto (como el que usó Arquímedes) y con base de radio R igual a la del cilindro, parece resuelto gracias a la observación de #11. Es muy intuitivo. Habría que enterarse de si Arquímedes usó el mismo razonamiento.
EDITO: Para agradecer también la aportación de #12, parece que fue el método usado por Arquímedes según la Wikipedia.
Disculpad, es mi día de vuelta al trabajo y todavía ando dormido
"— Mami, he descubierto que el volumen de agua desplazada es igual al del objeto sumergido
— Arqui, ¿te has vuelto a cagar en la bañera?
— Puede"
Vía @paumal www.meneame.net/notame/1633488
- comprobar el empuje hidrostatico.
- y haciendote una pajilla.
- y haciendome una pajilla
Si no se demuestra no sirve.
(¿Se nota mucho que estoy recordando mis clases de cálculo de la universidad?)
Bueno en realidad un matematico actual ni siquiera da validez a muchas demostraciones y teorias de los fisicos, ya que usan razonamientos y manipulaciones matematicas sin ningun tipo de rigurosidad matematica real. Lo peor es que muchos fisicos creen que las matematicas que usan estan "bien".
Los matematicos estan espantados de lo que hacen los fisicos
Muy rigurosos estos grandes blogueros de ciencias exactas con lo suyo; un poco menos con lo demás
#10 Afirmas muy a la ligera lo de base por altura. Si bien nos parece "que se ve" no es tan trivial. En lo cotidiano nosotros multiplicamos cosas u objetos cuando son iguales en dimensión. El problema es que aquí estamos diciendo que h áreas es un volumen. Para nada trivial. Si tuviésemos h cubitos de volumen n cada uno y los sumásemos pues si, conformarían un volumen de n*h ¿Pero como dar el salto de manera formal de áreas a volúmenes pasando por la multiplicación? (El truco realmente está en la sumas infinitas no discretas, osea, básicamente y a grosso modo sin entrar en detalles, usar la integral).
hipotenusa = sqrt(a^2+a^2)
diagonal del cubo = sqrt(a^2+a^2+a^2) = sqrt(3)*a
diagonal de la cosa inimaginable de cuatro dimensiones: sqrt(a^2+a^2+a^2+a^2) = sqrt(4)*a
Se puede deducir también en este artículo (sobretodo a la vista del dibujo), pero no está de más aclararlo expresamente.
¿Te refieres a algún axioma?
Ahora en serio, no hay que quitar valor a demostraciones como estas. De hecho, si aplicamos tu baremo estrictamente, resulta que el invento del cálculo infinitesimal por parte de Newton y Leibnitz no tiene rigor alguno, ya que el concepto de límite se desarrolló muy posteriormente.
Además, aunque no lo especifica en el artículo, seguramente Arquímedes ya sabía previamente cuál era el volumen de la esfera (algo bastante fácil de averiguar usando otro de los descubrimientos que lo han hecho famoso) por lo que no es de extrañar que primero viniera la observación de la coincidencia con el cono y el cilindro y luego buscara la forma de visualizarlo, es decir, un método bastante más inductivo y práctico que las ideas platónicas que solemos tener sobre el funcionamiento de la mente de los matemáticos.
Se agradecen las correcciones. En parte por eso me he convertido en meneísta a pesar de que la ideología dominante es tan contraria a la mía. Pero se tiene en consideración la corrección ortográfica, lo cual no es común en los foros de Internet.
En el ejemplo que pones, que arquimedes ya supiese el resultado de antemano por experimentos es indiferente, no añade ningun rigor a a la demostracion, como mucho apunta en la direccion de que la demostracion no tiene porque ser falsa, pero en ningun momento demuestra que es correcta.
Actualmente muchos fisicos usan esos infinitesimales, pero creen que funcionan por las razones equivocadas, generalmente solo un matematico te podra justificar correctamente y con rigor porque esas operaciones y manipulaciones matematicas son correctas.