Hasta finales del siglo XIX, ningún matemático había logrado describir el infinito más allá de la idea de que es un valor absolutamente inalcanzable. Georg Cantor fue el primero en abordar a fondo un concepto tan abstracto; y lo hizo desarrollando la Teoría de conjuntos, que le llevó a la sorprendente conclusión de que hay infinitos de distintos tamaños.
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etiquetas: cantor , infinito , conjuntos , matemáticas 
(Escrito en el margen de un libro de matemáticas de Paquirrín).
www.youtube.com/watch?v=cnrcOELjnr0
www.filmaffinity.com/es/film195289.html
En español: Conocimiento Peligroso, de la BBC
vimeo.com/56571756
Pues por ejemplo el conjunto de todas las funciones posibles de R a R.
- Entre el número 1 y el infinito hay infinitos números. Primer Infinito.
- Entre el número 1 y el 2 hay una unidad.
- Entre el número 1 y el 2 hay infinitas fracciones. Segundo Infinito.
- Pero la suma de esas infinitas fracciones es igual a la unidad.
Un infinito está contenido dentro de otro infinito y el más pequeño vale 1.
Si la realidad se puede dividir hasta llegar a la física de partículas donde hay átomos, quarks, gluones, fermiones, campo de Plank, el bosón de Higgs, etc. y de ahí nos vamos a la teoría de cuerdas que afirma que las partículas subatómicas, aparentemente puntuales, son en realidad estados vibracionales de un objeto extendido más básico llamado cuerda ... Donde está en la naturaleza algo realmente unitario?
Quizás de ahí podríamos deducir que la teoría de los transfinitos de Cantor sólo es metafísica; una especie de religión que afirma cosas sobre conceptos no existentes.
He dicho.
El concepto de densidad en este contexto tiene otro significado. Los cardinales no son densos ni no densos (hablo de memoria, >10 años desde que dí análisis funcional en la carrera), pero los conjuntos, para ser densos, tienen que ser no numerables y cumplir otra condición (todo elemento del cjto debe ser aproximable por una sucesión de Cauchy).
Supongo que el primer enunciado se refiere a infinitos números naturales, ¿no? Si es así, entre el número 1 y el 2 hay tantas fracciones como números naturales hay entre 1 e infinito. O sea, no es un segundo infinito, es el mismo infinito.
Lo de que la suma de las infinitas fracciones entre 1 y 2 es igual a la unidad no hay por donde cogerlo. Cualquiera que cojas ya es mayor que la unidad, así que si sumas más fracciones te irás todavía más lejos.
No hace falta. Q es denso en R, es decir, en cualquier intervalo de R hay siempre algún racional.
Y sin embargo Q es numerable.
En serio, además de las diferentes categorías (alef) de infinitos también definió el conjunto de Cantor. Su nombre sale frecuentemente en los libros de topología
1. Entre 1 cm y 2 cm hay un sólo cm. Y esa distancia la puedo partir en trocitos muy pequeños, infinitamente pequeños. Así que tengo infinitos trocitos que todos sumados dan 1 cm.
2. Ahora cojo una regla que mide 100 cm. Y hago lo mismo entre 0 y 100cm. Tengo infinitos trocitos pero que cuando los sumo miden 100 cm.
Tengo un infinito que mide 1cm y otro que mide 100cm. ¿Tiene sentido? ¿Son dos infinitos diferentes?
Pero vamos, que no depende del número de centímetros que tomes al inicio. De hecho puedes tener un infinito "más grande" dentro de 1cm que otro dentro de 100cm (igual que puedes partir 100cm en un conjunto finito de trozos y 1cm en un conjunto infinito de trozos). Insisto, depende, de cómo tomes los trozos, no del tamaño del conjunto.
Ains, qué recuerdos.
#33 No tiene sentido. El conjunto de los números racionales entre 0 y 1 es del mismo tamaño que el conjunto de todos los números racionales o que el conjunto de los números naturales.
#35 El propio numero 1. ¿ Es un concepto al margen de todo o es algo que tiene correspondencia con algo que realmente existe?
No tiene ningún interés real preguntárselo dentro de las matemáticas. Las matemáticas funcionan tanto si se corresponden con algo de la realidad o no.
#31 tienes que definir una estructura de orden. La que se toma siempre es que dos conjuntos infinitos son iguales si hay una aplicación biyectiva entre ellos. Un conjunto es menor que otro si hay una aplicación inyectiva (y no son iguales, claro).
Se llaman infinitos numerables los que se pueden poner en correspondencia biyectiva con los números naturales.
Lo de ser denso es una propiedad topológica. Un subconjunto A de un conjunto topológico B es denso si todo entorno de un elemento de B corta a A.
Si te sirve de consuelo, no se diferencia entre clases sociales. Hasta un rey no entendería matemáticas ( o física o sociología) sin haberlas estudiado, pagase lo que pagase.
Como pista, para comparar infinitos no se hace en centímetros, se hace con correspondencias biunivocas, como dice el artículo y explico en #51 . Tras entender eso, ya es posible entender el resto.
Los números entre 0 y 1 se corresponden uno a uno con todos los infinitos números positivos con la relación y = 1 / X - 1
Miden distintos centímetros pero hay exactamente los mismos elementos en cada uno de esos conjuntos.
Un conjunto es denso o no lo es. La densidad se da entre un subconjunto y un conjunto que lo contiene. Puedes decir, los racionales son densos en R. Pero no puedes decir tal conjunto es más denso o menos denso que tal otro.
También es cierto que como todo en matemáticas se puede definir, tu puedes dar una definición de densidad entre conjuntos y llamarla la densidad de squanchy y definir formalmente qué significa que un conjunto sea más denso de squanchy que otro. Pero para eso tienes que definir formalmente tu versión de "densidad".
y el conjunto de las potencias de las potencias de R tendrían cardinal Alef sub 2 y así hasta el infinito (numerable)
Aún así tienes un montón de contenido si nunca entraste