Marilyn vos Savant, nacida en 1946, debe ser una persona bastante interesante. No en vano posee el gran honor de figurar en el Libro Guinness de los Récords por ser la persona con el Cociente Intelectual (CI) más elevado del mundo, con 228.
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Caso 1. Tú habías elegido coche. Si cambias, pierdes (el presentador ha abierto cualquiera de las puertas que esconden una cabra).
Caso 2. Tú habías elegido cabra (1). Entonces, el presentador abre cabra (2). Si cambias, ganas.
Caso 3. Tú habías elegido cabra (2). Entonces, el presentador abre cabra (1). Si cambias, ganas.
De tres casos posibles, cambiando ganas en 2. 66,6% de posibilidades. Ahora veamos si no se cambia:
Caso 1. Tú habías elegido coche. El presentador abre cualquier puerta con cabra. Si no cambias, ganas.
Caso 2. Tú habías elegido cabra (1). El presentador abre cabra (2). Si no cambias, pierdes.
Caso 3. Tú habías elegido cabra (2). El presentador abre cabra (1). Si no cambias, pierdes.
Si no cambias, ganas solo en el 33,3% de los casos. La verdad es que es bastante antiintuitivo, por eso mola.
Al menos no con este razonamiento:
"Primer caso: Detrás de la puerta 1 estaba el coche. Si cambiamos a la 2 nos quedaríamos con una cabra.
Segundo caso: Detrás de la puerta 1 estaba una de las cabras. Si cambiamos a la 2 nos llevaríamos el coche, ya que el presentador nos habría enseñado la otra cabra en la 3.
Tercer caso: Detrás de la puerta 1 estaba la otra cabra. Cambiando a la 2 volvemos a llevarnos el coche."
Sin embargo, cuando el presentador abre una puerta la otra que queda sin abrir pasa a tener 2/3 (porque de dos puertas que no has escogido se ha abierto una)
Después de devanarme los sesos, lo mejor a lo que he llegado para justificar el otro razonamiento es:
En tu primera elección tienes 1/3 de posibilidades de que esté el coche. Y 2/3 de posibilidades de que esté en la otra opción (puerta 2 y 3). En el momento en que te desvelan que en la puerta 3 no hay nada, resulta que la opción de más posibilidad (2/3) ahora sólo tiene una puerta, por lo que sería más probable que la elección inicial de 1/3.
Edito: Creo que si hubiera leído a #10 y #11, me habría ahorrado tiempo de procesamiento cerebral, je je.
Primer caso: Detrás de la puerta #1 estaba el coche. Si cambiamos a la #2 nos quedaríamos con una cabra.
Segundo caso: Detrás de la puerta #1 estaba una de las cabras. Si cambiamos a la #2 nos llevaríamos el coche, ya que el presentador nos habría enseñado la otra cabra en la #3.
Tercer caso: Detrás de la puerta #1 estaba la otra cabra.
¿Y por qué no pone el Cuarto caso?:
Cuarto caso: Detrás de la puerta #1 estaba el coche. Si cambiamos a la #2 nos quedaríamos con la otra cabra.
Si contamos 1 cabra para los aciertos (cualquiera de ellas), pero 2 cabras para las equivocaciones (una u otra) ,es lógico que salga mejor cambiar de puerta, pero es que no hay 3 casos, hay 4.
O siguiendo el razonamiento de Marilyn pero a la inversa:
Primer caso: Detrás de la puerta #2 estaba el coche. Si nos quedamos en la #1 nos quedaríamos con una cabra.
Segundo caso: Detrás de la puerta #2 estaba una de las cabras. Si nos quedamos en la #1 nos llevaríamos el coche, ya que el presentador nos habría enseñado la otra cabra en la #3.
Tercer caso: Detrás de la puerta #2 estaba la otra cabra. Quedándonos en la #1 volvemos a llevarnos el coche.
Hale, si no cambiamos de puerta, tenemos las mismas posibilidades:
Tres posibles casos si cambiamos. En dos de ellos nos llevamos el coche y en uno de ellos una cabra. Si no cambiamos nos llevaríamos el coche en dos casos sobre tres posibles y una cabra en uno de esos tres.
P.D. Perdón a los meneantes #1, #2 y #3, que al copiar y pegar el texto me han salido las almohadillas y me van a salir como citados un huevo de veces
Pongamos un caso extremo para verlo más claro: 10 puertas y un premio.
Eliges la 1. Probabilidad de acertar 1/10-Probabilidad de NO acertar 9/10. Hasta aquí estamos de acuerdo ¿no?
Ahora, de las 9 restantes, revelo que hay 8 vacías. Es decir, te quedan dos puertas, la que elegiste y otra del grupo de 9. Es decir, el grupo de 9 tenía un 90% de posibilidades de tener premio desde el principio y he descartado 8 (pero no las descarté al azar, las descarté a sabiendas de que NO tenían premio), por lo que si tenías un 90% de posibilidades de que estuviera en las 9 puertas, ahora esa posibilidad estaría en la puerta restante. Yo lo entiendo así.
No se pueden computar los fallos (puerta vacía o con cabra) íntegramente tras los descartes y computar los aciertos como una sola unidad. Si hay dos puertas y una con premio, sigo viendo un 50% de posibilidades como tu, ya sea quedándonos en la misma puerta o cambiando.
Dicho de otro modo, es como si eliges 1 puerta de 10. OK?
Y luego el presentador te dice: Voy a hacer un grupo con las 9 puertas restantes y ganarás el premio si éste se encuentra en cualquiera de ellas. ¿Cambiarías de opción entonces? Sería el 50% según tú, ya que no te importa cómo empezaste, ahora tienes 2 opciones.
Pues mi ejemplo es lo mismo, pero de una manera encubierta, porque en realidad tú ya sabías que 8 de esas 9 puertas estaban vacías. Simplemente te ha dicho cuáles son. No las ha descartado al azar. Es lo mismo que decir "lo que haya en la puerta número 1 o lo que haya en el grupo de las otras 9 puertas".
www.shodor.org/interactivate/activities/SimpleMontyHall/
35 veces que me he quedado en la misma puerta; veces que he ganado 15. Probabilidad experimental de ganar: 42,86%
35 veces que he cambiado de puerta; veces que he ganado 15. Probabilidad experimental de ganar: 42,86%
Elegimos una puerta de entre 3 que tenemos, por lo que hay probabilidad 1/3 de que el coche esté en la que elegimos y 2/3 de que esté en alguna de las otras dos. Después el presentador nos abre una de ellas en la que no hay coche (esto es muy importante), por lo que la probabilidad 2/3 inicial ha pasado a la puerta que el presentador ha dejado cerrada. Tendríamos 1/3 si no cambiamos y 2/3 si cambiamos.
Como ya han dicho también antes, pensad en un número enorme de puerta, un millón de puertas. Escogemos una, probabilidad 1/1000000 de que esté ahí el coche. Vamos, que casi seguro que está en alguna de las otras. Y ahora el presentador nos abre todas las demás excepto una, y en todas las que abre hay cabras. ¿De verdad seguís pensando que hay 50% de posibilidades para la que escogimos en principio y otro 50% para la que ha dejado cerrada? No, ¿verdad?
Podeis hacer tandas de 100 autosimuladas, o poner mas puertas, lo que querais.
Esta demostrado, es contraintuitivo porque es probabilidad condicionada (por el conocimiento del presentador) pero es asi.
Para mi sigue sin tener lógica y mi CI es de 120, no soy una lumbrera pero tonto del todo tampoco, y no lo veo.....
Inicialmente escoges una puerta, y tienes 2/3 de posibilidades de fallar y 1/3 de acertar.
El presentador, que sabe lo que hay detras de cada puerta se deshace de una que tiene detras una cabra.
Quedan dos puertas, pero tu sigues teniendo ese 2/3 de posibilidades de haber fallado inicialmente. Por tanto al cambiar de puerta solo tienes 1/3 de posibilidades de fallar, lo que hace que ganes en un 66% de los casos.
La cuestion es que el presentador sabe lo que hay detras de cada puerta y destapa siempre una cabra puesto que el coche lo deja para la decision final.
Caso 1. Tú habías elegido coche. Si cambias, pierdes (el presentador ha abierto cualquiera de las puertas que esconden una cabra).
Caso 2. Tú habías elegido cabra (1). Entonces, el presentador abre cabra (2). Si cambias, ganas.
Caso 3. Tú habías elegido cabra (2). Entonces, el presentador abre cabra (1). Si cambias, ganas.
De tres casos posibles, cambiando ganas en 2. 66,6% de posibilidades. Ahora veamos si no se cambia:
Caso 1. Tú habías elegido coche. El presentador abre cualquier puerta con cabra. Si no cambias, ganas.
Caso 2. Tú habías elegido cabra (1). El presentador abre cabra (2). Si no cambias, pierdes.
Caso 3. Tú habías elegido cabra (2). El presentador abre cabra (1). Si no cambias, pierdes.
Si no cambias, ganas solo en el 33,3% de los casos. La verdad es que es bastante antiintuitivo, por eso mola.
La única forma de lo que lo puedo entender es que habiendo más cabras que coches cualquier cambio que hagas tendrá más posibilidades de ser cabra-coche que de ser coche-cabra, porque es más fácil haber pillado la cabra en primer lugar.
Empecemos desde el principio, con 3 jugadores hipoteticos.
El primero elije la puerta 1, el segundo la 2, el tercero la 3. Hasta aquí cada uno tiene 1/3 de posibilidades de ganar el coche.
Ahora bien, dos de esos jugadores han elegido cabra, el tercero ha elegido coche.
Pongamos que el coche está en la puerta 2.
El jugador 1 tiene cabra, el jugador 2 coche, el jugador 3 cabra.
Ahora se separan nuestros caminos.
En el caso del jugador 1, el presentador abriría la puerta 3. Para conseguir el coche el jugador tendría que cambiar de puerta.
En el caso del jugador 2, el presentador abriría cualquiera de las otras dos puertas, pero da igual, el jugador debería quedarse con la puerta que tiene.
En el caso del jugador 3 el presentador abriría la puerta 1, para conseguir el coche el jugador tendría que cambiar de puerta.
Así que efectivamente, si tú estas jugando en el concurso tienes que ajustarte a uno de esos 3 paradigmas, o eres el jugador 1, o el 2 o el 3. Y las probabilidades son de 2/3 de que tu situación se corresponda con la de un jugador que debe cambiar de puerta.
Qué hija de puta, tiene razón, lo que pasa que si no lo escribes tú no se pilla
Planteamiento:
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Hay 100 puertas.
- Detrás de una de las puertas se encuentra tu pareja con un hombre detrás apuntándole con una pistola.
- Debes elegir una puerta, y si no eliges la puerta de ella, el hombre la matará.
Nudo:
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Elijes una puerta, desesperado porque sabes que la probabilidad de acertar es de 1 contra 100.
Se te da una segunda oportunidad. Te señala una segunda puerta. Te promenten que tu pareja está detrás de una de las dos. Y que cuando elijas, abrirán ambas puertas para que puedas observar el resultado de tu decisión con tus propios ojos.
Desenlace:
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No tienes otra que fiarte de que tu pareja está tras una de las dos puertas. El dilema es el siguiente:
Opción A) Te arriesgas a haber acertado la lotería (1 posibilidad entre 100) y asumes que la nueva puerta la han sacado para que piques.
Opción B) Te arriesgas a cambiar de puerta, porque te das cuenta de que lo más probable es que esté en la segunda SIEMPRE que te hayan dicho la verdad y tu pareja ESTÉ detrás de una de las dos, y eso... no depende de ti.
Prólogo:
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Con 3 puertas, el margen estadístico de la ganancia es mucho más reducido, pero sigue siendo mejor opción cambiar (siempre estadísticamente hablando).
Gracias #26 y #39 comentarios clave y clarificadores (para mi).
Todas las puertas tienen 1/3 de posibilidades en la primera ronda, todas tienen 1/2 en la segunda. Son dos problemas independientes, según el planteamiento de los que defienden este problema si yo elijo la puerta 1 en la primera ronda y en la segunda ronda cambio mi selección dos veces (i.e. primero a la puerta 2, luego me arrepiento y vuelvo a la puerta 1) la puerta 1 tiene ahora 1/2 de posibilidades sin que nada fuera de mi subjetividad haya cambiado.
Visto de otra forma, si yo elijo la puerta y en la segunda ronda las barajan y me dan a elegir una, cada una tendría 1/2, pero las puertas son las mismas que en el caso anterior.
#39 yo creo que te equivocas porque cambias el planteamiento del problema a mitad de tu demostración: O tienes cabra y coche, en general, como plantea #11 y #22 o tienes 2 cabras y un coche, como empiezas planteando tu. Siguiendo tu línea:
No cambio mi decisión:
Elijo coche, presentador elije cabra1 – gano
Elijo coche, presentador elije cabra2 – gano
Elijo cabra1, presentador elije cabra2-pierdo
Elijo cabra2, presentador elije cabra1-pierdo
Posibilidades 50%
Cambio mi decisión:
Elijo coche, presentador elije cabra 1- pierdo
Elijo coche, presentador elije cabra2-pierdo
Elijo cabra 1, presentador elije cabra2-gano
Elijo cabra2, presentador elije cabra1-gano
Posibilidades 50%
¿Ves el error? No puedes empezar considerando que hay un numero especifico de cabras cuando tu elijes y luego plantear “cabra” como un genérico cuando el presentador elije, porque te estas cargando una posibilidad agrupándolas juntas.
Para los más escepticos, hice una simulación del juego y en un proceso de 10.000 iteraciones, el cambio terminó en premio en un 66,7% de las veces; vamos que no es un 50%...
Ahora bien, usando la segunda estrategia (cambiar de opinión), resulta que la única manera de perder es elegir en un principio la puerta correcta.
#56 Pero una simulacion mal planteada si que engaña
De todas formas, aumentando las puertas a 100 se ve mas claro. Si tu eliges 1 de 100, tienes un 1% de acertar. Si te abren 98 puertas en las que no hay nada... y te preguntan que si quieres cambiar, estaría claro que hay que cambiar. Pues tendrías un 99% de posibilidades de acertar, y no 50%. (100% menos el 1% de posibilidades de que el coche estuviese en la que habías elegido al principio). Con 3 pasa lo mismo, pero es mas antiintuitivo.
La primera elección es una de las tres puertas.
La segunda elección es si cambiamos o no.
1 2 3
Cabra Coche Vaca
Ahora tenemos 3 jugadores, para simplificar cada jugador elige una puerta distinta.
J1=Puerta 1 (Cabra )
J2=Puerta 2 (Coche)
J3=Puerta 3 (Vaca)
Ahora el presentador abrirá una puerta.
J1=Puerta 3 (Vaca)
J2=Puerta 1 o 3, es indiferente.
J3=Puerta 1 (Cabra)
Según este problema, si J1 cambia de puerta se lleva el coche y J3 también. Sólo J2 debería quedarse con la puerta que tiene.
Son como 3 universos distintos, el universo J1, J2 y J3, tú como concursante vas a entrar en uno de esos 3 universos en el momento en que elijas una puerta, y en dos de ellos la única forma de llevarse el coche es cambiar de puerta.
Si haceis una simulación por ordenador, veréis que la mayoría de las veces la puerta buena no es la que elegis al principio ( elegid un numero grande de pruebas, por ejemplo mil).
www.youtube.com/watch?v=SUMWnh6-XEg vídeo de la película 21 black jack donde también lo explica
No cambio:
P1 Elijo coche:
-P2 presentador elije cabra1- gano
-P2 presentador elije cabra2-gano
P1 Elijo cabra1:
-P2 presentador elije cabra2-pierdo
P1 elijo cabra2:
-P2 presentador elije cabra1-pierdo
En P1 mis posibilidades son de 1/3, eso nadie lo duda, pero las posibilidades finales son de 1/2. No te lies con conceptos que no entiendes, el problema es tan sencillo como parece.
O si no, haz aquí simulaciones: www.shodor.org/interactivate/activities/SimpleMontyHall/
Te estas equivocando.
Se me ha perdido una cabra.
No la habréis visto por aquí, ¿verdad?
No hace falta calcular nada para ver que es mejor cambiar:
Si una A es una cAbra y una O es un cOche, habiendo elegido una opción cualquiera sólo tenemos la siguiente situación:
O|AA
A|OA
A|AO
(sólo hace falta marcar una columna [la 1ª] porque elijamos la puerta que elijamos [1ª, 2ª o 3ª] siempre nos queda la misma configuración).
Resulta que el presentador nos tacha una A [Nota mía: porque el presentador SABE dónde hay una A entre las dos puertas que NO hemos elegido], entonces queda:
O|A-
A|O-
A|-O
donde es evidente que será mejor cambiar.
Hay dos posibles casos de O frente a una de A si cambiamos: 2/3 de probabilidad si cambio, 1/3 si no.
Si se tiene eso en cuenta, la única elección que influencia el resultado es la primera, si elegiste un coche vas a tener una cabra, y si elegiste una cabra vas a tener un coche. Como hay 2 cabras y un coche, y te vas a llevar lo contrario de lo que elijas, tienes 2/3 de llevarte un coche y 1/3 de llevarte una cabra.
Qué carajo, ¡voy a hacerlo ahora mismo!
Hay 1/3 de posibilidades de acertar: siempre que aciertes al principio, después el presentador elegirá por azar.
Hay 2/3 de posibilidades de fallar: siempre que falles al principio, después el presentador elegirá lo que no es el coche.
No hay más, tú no eliges entre dos puertas, sino entre haberte equivocado o haber acertado al inicio, porque todo lo que pase después dependerá sólo de eso, de la elección inicial. Hay 1/3 de posibilidades de que hayas acertado a la primera, pero hay 2/3 de que el presentador evite el coche al abrir la suya.
Muy facil:
1- La intuicion dice que si el presentador tiene la opcion de decidir si abre la siguiente puerta y tu elijes una cabra , el no la abrira y habras perdido.
2-Si abre la puerta, entonces es que seguro he acertado, con lo cual ¿para que voy a cambiar?
*Aqui viene la diferencia, el presentador siempre tiene que abrir una mala. Despues de tu elección. entonces es cuando hay que echar cuentas:
Hay 3 opciones, Cabra 1,Cabra 2 y Coche.
a-Elijo Coche, el presentador coje una cabra y me hace perder si cambio por que deja la otra cabra. (no merece cambiar)
b-Elijo cabra 1, el presentador me va a separar el coche.
c-Elijo cabra 2, el presentador, vuelve a separarme el coche...
Esto significa que probabilisticamente, dentro de las 3 posibilidades, si no cambio pierdo en 2 de las 3, si cambio, gano 2 de las 3....
Es por esto por lo que estadisticamente interesa cambiar.
Incluso hice un programa en C que lo demuestra: www.caminandoporlavida.net/el-juego-de-las-tres-puertas
Es interesante
#4 #9 #16 #49 #58 #66 Yo lo veo así, eliges la A, la probabilidad de que esté en la A es 1/3, la probabilidad de que esté en B o C es 2/3, el presentador te da la posibilidad de cambiar tu opción (A) por la opción (B + C), que se quite la cabra antes de darte a elegir o después de que tu elijas es completamente irrelevante, porque el presentador sabe dónde está la cabra.
O haciendo un árbol, que no es tan complicado, tienes 3 opciones iniciales (En realidad es la misma pero no quiero dejar nada suelto):
Opcion 1
cabra - cabra - coche.
- Si eliges A y cambias ganas
- Si eliges B y cambias ganas
- Si eliges C y cambias pierdes
Opcion 2
coche - cabra - cabra
- Si eliges A y cambias pierdes
- Si eliges B y cambias ganas
- Si eliges C y cambias ganas
Opcion 3
cabra - coche - cabra
- Si eliges A y cambias ganas
- Si eliges B y cambias pierdes
- Si eliges C y cambias ganas
Probabilidades de ganar cambiando: 6/9 o 2/3 (No cambiando por tanto 3/9 o 1/3, podéis hacer lo mismo sin cambiar y lo veréis si no os queda claro)
La tipa tiene razón. Así que el que crea que no lo está, lo mejor es que no pierda el tiempo intentando demostrar lo indemostrable
Lo que digo en #66 es que habitualmente un problema se entiende mejor cuando se simplifica. Y en este caso es al contrario.
PS: Y la segunda vez también
Si alguno todavía no lo entiende, yo lo conseguí visualizando mentalmente el problema con cientos de puertas. También tuve que "programar" mentalmente el algoritmo para convencerme.
Finalmente el enlace que pusieron antes www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/ ha terminado de despejar mis dudas.
Lo dicho, un problema contra-intuitivo cojonudo, me lo he pasado muy bien
Si no te lo crees busca el problema en #49, que está hecho por el cuento de la vieja.
#94 Si, te estaba troleando un poco, pero te lo has ganado.
Sólo estaría bien si la respuesta comenzase diciento: "Suponiendo que en las reglas del juego está dispuesto que siempre y en todos los casos, después de escojer la puerta, el presentador abrirá una de las que tenga una cabra y nos dejará cambiar..."
Justamente en el programa de Monty Hall él abría o no las puertas cuando le daba la gana. Si este fuera el caso, el problema es irresoluble.
Aumentando las puertas a 100 se ve clarisimo.
Tu eliges una puerta entre 100, y tienes un 1% de haber elegido la del coche. El presentados abre 98 de las 99 restantes, pero no 98 al azar, sino 98 en las que NO ESTA el coche y te pregunta si quieres cambiar. Bien.
Si te quedas con tu puerta, sigues teniendo el 1% del principio.
Si elijes cambiar, tienes un 99% de acertar, es decir, tienes las posibilidades de que el coche NO ESTUVIESE en la puerta inicial que habías elegido (100% - 1%)
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Tu eliges una puerta entre 3, y tienes un 33% de haber elegido la del coche. El presentados abre 1 de las 2 restantes, pero no 1 al azar, sino 1 en las que NO ESTA el coche y te pregunta si quieres cambiar. Bien.
Si te quedas con tu puerta, sigues teniendo el 33% del principio.
Si elijes cambiar, tienes un 66% de acertar, es decir, tienes las posibilidades de que el coche NO ESTUVIESE en la puerta inicial que habías elegido (100% - 33%)
Otra forma de verlo:
Si cambias, ganas siempre que hayas elegido cabra al principio: un 66%, pues de haber elegido cabra, el presentador te enseñara la otra y no el coche, dejando este en la puerta a la que tienes que cambiar.