La clave es utilizar propiedades de los polinomios simétricos y la teoría de grupos, por ejemplo el grupo de ecuaciones que coloqué forman una suma de potencias de polinomios simétricos.
Si aplicas que el k-esimo grado de n variables es la suma de las n variables elevada a la potencia k
pk(x1,x2,...,xn) = (x1)k + (x2)k + ... + (xn)k
de ahí se puede decir que:
x + y + z = p1(x,y,z) = 1
x2 + y2+ z2 = p2(x,y,z) = 2
x3 + y3 + z3 = p3(x,y,z) = 3
De acá se puede relacionar estas fórmulas con las del polinomio elemental simétrico:
e0(x,y,z) = 1
e1(x,y,z) = x + y + z
e2(x,y,z) = xy + xz + yz
e3(x,y,z) = xyz
er(x,y,z) = 0 , r > 3 (esto producto del sistema de ecuaciones propuesto)
después de esto se aplica la identidad de Newton -Girard para resolverla
La clave es utilizar propiedades de los polinomios simétricos y la teoría de grupos, por ejemplo el grupo de ecuaciones que coloqué forman una suma de potencias de polinomios simétricos.
Si aplicas que el k-esimo grado de n variables es la suma de las n variables elevada a la potencia k
pk(x1,x2,...,xn) = (x1)k + (x2)k + ... + (xn)k
de ahí se puede decir que:
x + y + z = p1(x,y,z) = 1
x2 + y2+ z2 = p2(x,y,z) = 2
x3 + y3 + z3 = p3(x,y,z) = 3
De acá se puede relacionar estas fórmulas con las del polinomio elemental simétrico:
e0(x,y,z) = 1
e1(x,y,z) = x + y + z
e2(x,y,z) = xy + xz + yz
e3(x,y,z) = xyz
er(x,y,z) = 0 , r > 3 (esto producto del sistema de ecuaciones propuesto)
después de esto se aplica la identidad de Newton -Girard para resolverla
El otro método es usar el teorema de Vieta