¿Qué puede tener de interesante el 142857, o como me gusta recordarlo: catorce veintiocho cincuentisiete? Se trata de uno de los números cíclicos más conocidos y fáciles de recordar.
Hasta el número 1.500.000 solo he encontrado otros 2 números que cumplan lo de multiplicar del 1 al 6 y que salgan los mismos números, el 1428570 y el 1429857. Así rápidamente en php:
Hasta qué punto algo es propiedad de un número, hasta qué punto se trata de numerología. Que el nº 142857 sea un número de Harschad, por sus propiedades, y lo sea también de Keprakar (también por sus propiedades) no le otorgan al nº ninguna propiedad que no le sea intrínseca a priori. Las demás aplicaciones me parecen pura numerología.
#12 Técnicamente, ese número es el cuatro.
Para que dos numeros reales sean distintos, tiene que haber otro numero real (infinitos) entre ellos.
Y entre 3,999999...9, 4 y 4,000...1 no hay ninguno.
#19 En la tuya ni en ninguna, intenta decir que como 0,9 periodico se aproxima tanto a uno se puede considerar 1, en matemáticas aplicada a la vida real estoy de acuerdo, pero en matemáticas teóricas no tiene ningún sentido.
#21 No, primero tu entiende que infinito no es un número sino un concepto y dime que numero es 3,9999 (infinitos 9) cual es ese numero? No lo sabemos, por tanto no tiene ningún sentido matemático.
Si mi profesor de cálculo integral levantara la cabeza...
#26 Que no amigo que en 4ºESO te dicen eso para que lo comprendas, pero no es así existe el concepto de límite y que un numero tienda a infinito no significa que sea igual a otro.
* Denotando por x al número 0,999… : x = 0,999…
* Se multiplica por 10 los dos números: 10x = 9,999…
* Restando ambas expresiones: 10 x - x = 9,999… - 0,999…
* Se concluye que 9x = 9, es decir, x = 1.
0.999... hasta el infinito y bien, ¿Qué numero es ese? Ese numero no existe como tal porque infinito es un CONCEPTO y no un número por tanto no se puede decir que un periodo infinito corresponde al siguiente número real porque el infinito como tal, no existe.
0.9 periodico es cero coma seguido de infinitos 9, infinito es un CONCEPTO no un numero, se usa para designar algo inalcanzable algo que no tiene fin. Si no tiene fin quiere decir que siempre puedes poner un 9 más y nunca el siguiente número sera 1.0 ni equivale a 1.0, siempre podrás meter un 9 más. Eso es el concepto de infinito y de numero periodico.
#40 No. El número 0.999(infinitos)98 no tiene sentido. ¿Cómo va a tener infinitos nueves y luego un ocho? Y si te refieres a 0.988(infinitos)8, no, eso no es 0.999...
#42 No. Los números periódicos son números racionales. Eso quiere decir que pueden escribirse como fracciones de números enteros. Ejemplo: 0.333..., que para ti es algo esotérico y mal definido, no es más que 1/3. Así que efectivamente SÍ es un número. Del mismo modo, 0.999... es igual a 1.
#42 Vamos a ver hombre, ¿te has leido el enlace de wikipedia? 0,999... es simplemente otra forma de escribir el número 1, es un asunto de notación. Déjate de conceptos del infinito y revisa cualquier fuente básica de matemáticas (que no sea Yahoo Answers)
#48 No es que el concepto infinito es de total importancia aquí estas dando por hecho que 0.9 periodico es un numero finito y no es así es infinito, como un numero que no se sabe cual es porque no existe puede ser igual a otro? Y me da igual lo que ponga la wikipedia o cualquier enlace, es lógica pura pensad por vosotros un poquito que esas teorías la escribieron personas que no eran ni más ni menos que tú.
#54
¿Te das cuenta de que yo puedo cortar un trozo de cordel que mida 1/3 (0,333...) de metro? ¿Y que si junto tres como ese miden exactamente 1 metro?
#54 "como un numero que no se sabe cual es porque no existe puede ser igual a otro?"
A ver, comencemos por el principio. Las matemáticas son puramente abstractas. Sí, ese número se sabe cuál es, y lo que representa es exactamente lo mismo que uno, razón por la que son iguales.
Tampoco existen en la naturaleza los números complejos y ahí están, con sus operaciones matemáticas, sus relaciones, y todo. Y se pueden usar para representar cosas y todo.
Estoy de acuerdo contigo en que hay que pensar por uno mismo, pero no a base de ignorar a los demás. Cuando los demás piensan distinto, intenta entender por qué. Puede que descubras que tienen razón.
#57 Yo he llegado a la conclusión de que esto no tiene consenso, depende de como se mire.
Si tomas el número 0.9 periódico como un valor conocido pues se llega a la conclusión de que es igual a 1
Si tomas el número 0.9 periódico como un número que no se conoce su valor porque no existe nunca sera igual a 1.
En el mundo real está claro que el que tiene razón soy yo, en el concepto abstracto matemático YO PIENSO que si se dice que 0.9 periodico es igual a 1 estas considerando que 0.9 es finito cuando no lo es.
#43#50 entonces no existe 0.000(infinitos)01 y si existe 0.999(infinitos)9 que es = 1 ?
y si restamos el segundo numero al primero nos da el 0.999(infinitos)98, no?
#67 Mira déjalo, encima lo llevas al terreno real, que me lo debatas en la teoría y las matemáticas abstractas vale, pero en el mundo real...
Si soy capaz de ir y pedir 1/3 de kilo de pasta, pero la dependienta no será capaz de dármelo EXACTO me dará una aproximación pero no exacto porque es imposible.
#68 para que veas lo absurdo de lo que dices, si ese número acaba en 8 no puede tener infinitos 9 en medio... sin asimilar algo tan elemental es dificil intentar hacerte entender nada, además de ser obvio que no te interesa aprender nada nuevo y que vienes aquí a imponer tu idea.
#68 Esa resta no está bien hecha. Fíjate que el resultado final sencillamente no tiene sentido. No puede haber infinitos nueves y LUEGO (¿luego? ¿qué significa luego tras un número INFINITO de nueves?) un ocho.
#69 ¿Y si te dijera que puede dártelo exacto? ¿Y si en lugar de patatas tenemos canicas, concretamente tres canicas, y te pido que me des un tercio de tus canicas?
#71 En ese caso podrías darme 1/3 exacto, pero ¿Por qué no puedes hacer lo mismo con 1/3 de Kg ó 1/3 de papel? Sencillamente porque las matemáticas no son una ciencia exacta.
Pues yo digo que el argumento de 7:7=1 y uno es o.99999 y por eso el número 142857 es la hostia, porque al multiplicarlo por 7 da 999999 es una de las mayores gilipolleces que he visto para justificar la "magia" de un número.
Un tercio de 6 es 2. Si puedo multiplicar un número natural (seis) por otro y sé exactamente lo que me va a dar, ¿cómo puedes decir que no conoces el valor?. Simplemente es un tema de notación: Te lo voy a poner con un ejemplo un poco raro, pero lo vas a ver rápido.
Lo normal es trabajar con números decimales, aunque también se usan hexadecimales o binarios en computación. Pero trabajemos en base 3:
1, 2, 10, 11, 12, 20... serían la reprentacíón de 1,2,3,4,5,6...
Un tercio en decimal es 1/3, que base 3 sería 1/10. Resolviendo la división tienes que:
1/3=0.33333333 es lo mismo que 1/10=0.1 en base 3. No es infinito. Simplemente en base 10 no se puede representar con un número finito de decimales. Y son dos cosas totalmente distintas. Por ejemplo en base 2 no puedes representar un décimo, ya que es periódico: 0.0001100011000111000111... (binario) Si nosotros trabajásemos en base 2, me dirías que un décimo es un número infinito?
#74 ajam
Si, el problema creo que está en intentar cuantificar el concepto de infinito.
Si lo pudieramos cuantificar no existirian los numeros para ello ya todos serian = 0, un unico numero que lo abarcaria todo...
Y te lo dice mi hermanito que va en cuarto de primaria.
#14 Entonces no hay ningún número que siga al cuatro, ¿no? Entre cualquier número real distinto del cuatro y el propio cuatro siempre vamos a poder meter otro número.
#79 Precisamente, no quiero mezclar cosas físicas (al fin y al cabo tiene algo de razón, no vas a obtener nunca un tercio de kilo exacto, del mismo modo que nunca vas a obtener 1 Kg exacto).Me baso simplemente en matemáticas y en la notación.
#80 Efectivamente, el concepto de siguiente no tiene sentido con números reales.
El número 0,9999...seguido de todos los 9 que puedas escribir, pertenece al intervalo [0,1)
Mientras que el número 3*1/3 pertenece al intervalo [0,1] porque es 1.
Si lo que queremos decir es que 0,9999...= 1, y por tanto perteneciente al intervalo [0,1], entonces deberemos representarlo de forma decimal como 0,9 añadiendo un arco sobre el 9.
#79 No lo son y puedes decir lo que quieras pero se demuestra rápidamente al ver que 1/3 + 1/3 + 1/3 no da lo mismo que si primero realizamos la división y luego sumaos.
#77 no me digas un 1/3 de 6 o 1/3 de 3 canicas valor que podemos sacar y en ese caso si existiria. pero el 1/3 como tal y como división su valor es desconocido. ¿Por qué en algunos casos si podemos conocer el valor de un número y en otros no? Esto da para debatir muchas y muchas horas, pero parece que como algunos conocidos matemáticos dijeron que las matemáticas son exactas son así por narices y los demás lo aceptamos.
No sois capaz de desmontar mi teoría ni yo seré capaz de rebatir la vuestra esto es como se quiera ver el tema del infinito es un concepto que se escapa del entendimiento humano y para mi es una osadía intentar ponerle un valor que es lo que estáis haciendo.
Es como intentar explicar el concepto de Dios o afirmar que existe o que deja de existir, simplemente no lo sabemos, como no conocemos el concepto de infinito.
#72 porque la propia palabra infinito ya te dice que no tiene fin, y como no tiene fin no puede tener un número al final.
0.9 periódico tampoco acaba en 9, sencillamente no acaba nunca de tener nueves uno detrás de otro, así hasta el infinito.
Y como el infinito no es que sea grande, es que no tiene fin, ese número es tan cercano a 1, pero tanto, que no hay ningún límite entre los 2, ningún número que vaya en medio, ni ninguna propiedad ni nada que los diferencie. Por eso se dice que 1=0.9(periodico)
#83No sois capaz de desmontar mi teoría ni yo seré capaz de rebatir la vuestra
¿Cómo que no? Ha sido rebatida varias veces ya con distintos argumentos. Con el ejemplo de las canicas en #71 te demostré que el número puede tener existencia en la vida real, tal y como también indicó #77. Además, #77 mostró como el hecho de que un número sea periódico o no depende de la base numérica elegida, por lo que decir que no existen es análogo a decir que no existe el número 0.1. Por otro lado, te han dado varias demostraciones (por ejemplo #23 o ¡la tuya misma en #34!) de que 0.999... es igual a 1.
Tenías razón, #79: No se ha enterado. Último intento:
#83 Te acabo de poner un contraejemplo, sólo tengo que cambiar la base numérica y deja de ser "desconocido" o "infinito". Y es más, te he puesto un número que parece normal y al cambiarlo de base pasa a ser periódico.
Y sin que sirva de ejemplo (ya te lo he dado), te copio de la Wikipedia: Bajo la denominación de 'ciencias exactas' se incluye a la matemática y a todas las ciencias que se sustentan en la experimentación y la observación y pueden sistematizarse utilizando el lenguaje matemático para expresar sus conocimientos.
Yo paso ya... ahí arriba quedan mis hipótesis para el que las comparte y para el que no.
#85 Ya te he reconocido que en ocasiones si podemos conocer su valor, y en otras no podemos conocerlo, esto es lo que hacen que para mi las matemáticas no sean exactas.
Nadie puede negarme este punto de vista porque como ya he dicho ninguno de los presentes conocemos el concepto de infinito.
Yo no voy a seguir con este debate, muy interesante por cierto, pero ya los dos "bandos" hemos dado nuestros argumentos y nos estamos repitiendo.
#86 Tranquilo amigo te podías ahorrar lo del último intento, porque lo he entendido a la primera, sois vosotros lo que no entendéis mi punto de vista. Yo se que cambiándolo de base puedes obtener el valor exacto y que depende de la notación, pero esto no hace que en el sistema decimal sea inexacto. Porque si lo aplicas al concepto de que con otras bases si puedes entonces en otras bases es donde serán iguales, pero en la base decimal no lo serán.
Este es mi último comentario sobre el tema, no por nada, sino porque creo que ya no hay debate, han quedado claro los dos puntos de vista.
#88 Lo tuyo no es un punto de vista, es una tontería.
Yo puedo decir que la capital de Francia es Cuenca, y no es un punto de vista, es una tontería.
Es una cuestión de notación. Si los números los representas con otra base (como dicen por ahi con base 3) es posible que ese número tenga una representación exacta.
Si no conoces el concepto de base 2, base 10, etc no puedes pretender entenderlo. Por suerte no pretendes entenderlo, sólo dices una y otra vez tu idea de "las matemáticas no son exactas". Lo cual es realmente gracioso.
#89 Dime que de lo que digo es una tontería y el porqué por favor.
Seguro que conozco el concepto de base igual o mejor que tú ;).
Si consigue separarme un 1 Kg en 3 partes exactamente iguales o partirme una hoja de papel en 3 partes también iguales te daré la razón. Antes de decir que los demás dicen tonterías da argumentos de porque son tonterías ;).
He tratado de leer todos los comentarios y me da la impresión de que llego bastante tarde; aún así, deseo aportar mi "granito".
La ecuación de #34 para mi forma de ver las cosas, está mal planteada. Es decir, x = 0'999...; 10x = 9'999...; 10x - x = 9'999... - 0'999...; 9x = 9; x = 1.
Obviamente, algo no cuadra. La serie de decimales de '9' es indeterminada, según comentáis, infinita; y a algo 'infinito' no se le puede restar otro 'infinito', aunque se dé por supuesto que sean iguales (no es lo mismo 'infinito' que una serie del tipo 1, 2, 3, ..., n). Cualquiera que haya hecho el bachiller sabrá de indeterminaciones del tipo "infinito - infinito", "0 x infinito", etc. a la hora de tratar con límites, que tienen distintos métodos de resolución, y que dan el valor de un determinado f(x) cuando 'x' tiende a un nº, no cuando 'x' es ese nº.
Por ello, esa ecuación es un juego de números. Para que 'x = 1', se debe determinar el nº de '9' que hay en la parte decimal; por ejemplo:
x = 0'99
10x = 9'9
10x - x = 9'9 - 0'99
9x = 8'91; --> x = (8'91)/9, que no es 1.
No se pueden realizar operaciones aritméticas básicas con números indeterminados, ni operar con infinitos de ese tipo que no corresponden a una serie A(n) (el que sabe matemáticas sabe que se puede operar con 'distintos infinitos' entre series de números en base a un término 'n').
En segundo lugar, yo afirmo, respetando todas vuestras opiniones, que he leído para tratar de "ubicarme" (porque se las trae), que 0'999... hasta el infinito no es 1. Un argumento genial es que ha usado #82 que, para mi forma de pensar, es respuesta definitiva.
El '1', además de ser un símbolo que denota un número, en este caso, la unidad, es un concepto. El 0'999... hasta infinito es otro concepto distinto que está incluído en la unidad, pero que no lo iguala.
Si tomamos la unidad como un conjunto A, éste sería el intervalo cerrado [0,1]. El int(A) es (0,1) y la fr(A) son los dos puntos aislados [0] y [1]. Es obvio que 0'999... pertenece al interior del conjunto y que [1] es la frontera, que son dos conceptos distintos. Se puede afirmar que 0'999..., cuando éste tiende a infinito, es uno.
Saludos a todos, se agradecen hilos de conversación así.
#91 Por fin alguien que parece que estudio el concepto de límites. Es en esencia lo que he tratado de hacer entender no conocemos el valor de infinito - infinito, es una indeterminación matemática que hay que evitar para resolver.
Se empeñan en que el concepto de límite e infinito no tienen nada que ver y es la esencia de todo esto.
Si se coge una calculadora normal, científica, etc. y se teclea un número X, de la extensión que sea, y se le aplica la operación "raíz cuadrada", de modo sqtr(X), sqtr(sqtr(x)), etc. un número determinado de veces, vamos viendo que el resultado es cada vez más parecido a esto:
1'0000000000000000001
1'000000000000000000001
1'00000000000000000000001
etc.
Hasta que finalmente da '1'. Luego, si se toma función "raíz de grado n sobre X", y a ésta se le hace tender a infinito... el resultado es '1'. Pero, si invertimos el resultado, que es '1', y lo elevamos a n, este n lo hacemos tender a infinito... el resultado no es el número X original. El resultado sigue siendo '1'.
Es otro ejemplo más. Leí una vez que esa clase de errores alcanzan una periodicidad de orden aleatorio que da lugar a las matemáticas dinámicas, no deterministas. La matemática del caos.
#88Ya te he reconocido que en ocasiones si podemos conocer su valor, y en otras no podemos conocerlo.
Creo que tienes un problema con lo que tú llamas "conocer un valor". El número 1/3 representa por sí mismo un valor. De 6 canicas un tercio es 2. Por lo tanto, SIEMPRE tiene valor definido.
#93 Eso que comentas no es un límite de una función, sino de una iteración. No es lo mismo hacer la raíz cuadrada n veces que tomar la raíz n-ésima. Ese detalle es importante.
#94 Por supuesto. Hacer raíz cuadrada 'n' veces es una raíz de grado par siempre, mientras que raíz de grado 'n' puede ser tanto par como impar. Gracias por el detalle
No son aplicaciones, son curiosidades, creo que lo dije varias veces en el artículo, incluso al final enlacé otro artículo sobre la estupidez de la numerología..
Para ver que el 0,9999... es igual a uno a mí se me ocurre (no sé si será correcto), que si fuera distinto de uno existiría un número (distinto de 0) que al sumárselo diese 1. Pero al tener infinitos 9's sea cual sea el número que le sumemos siempre nos pasamos:
0,99999...+0,1 = 1,09999..., 0,99999+0,001 = 1,00999, así hasta , 0,9999...9+0,0...1 = 0,0...09...9 (no sé si se entiende, los ... representan infinitas veces el dígito anterior) es decir, en el peor de los casos: sumarle un 0, todos los ceros que queráis y un uno al final de todas formas el resultado sería 1, un montón de ceros y seguido de infinitos nueves, que es mayor que 1
No, si pruebas hay todas las que se quieran, desde algunas más o menos formales como las que se han expuesto aquí hasta otras basadas directamente en la propia construcción matemática de los números reales, por ejemplo mediante cortaduras de Dedekin o series de Cauchy.
Sin embargo todas las pruebas en contra son balbuceos basados en una idea esotérica y romántica del "infinito"
donde 'k, n' son números N (natural) tal que 0 <k <n-1 <n. El tº 'n' representa el nº de nueves que hay en la sucesión, y 'k' es un nº de nueves cualquiera. Lo términos de ésta serían de la forma:
Imaginemos que 'n' tiende a infinito. Tendríamos una secuencia de 0'9...9 en la que la parte decimal '9' es infinita.
Sigamos:
B = {0'1, 0'01, ..., 0'0..k..1, ..., 0'0..n-1..1, 0'0..n..1},
donde 'k, n' son números N (naturales) tal que 0 <k <n-1 <n. El tº 'n' representa el número de ceros que hay en esta sucesión, y 'k' es un nº de ceros cualquiera. Los términos de la sucesión serían del tipo:
puesto que el orden primero, segundo, ..., k-ésimo, ...(n-1)-ésimo, n-ésimo es común en ambos conjuntos. Es dcir, ser primero es ser primero en ambos conjuntos, al igual que ser egundo es ser segundo en ambos conjuntos; ser k-ésimo es lo mismo para A y B, ser n-ésimo es lo mismo para A y B.
Al poner tu ejemplo, <<0'99999... + 0'1 = 1'09999...>> estás cometiendo el error de sumar un número que tiene un número indeterminado de decimales con un número que sí tiene sus decimales determinados; vamos, estás sumando a(k) con b(1), y eso no tiene sentido.
www.meneame.net/story/el-numero-ciclico (sólo cuenta una parte de lo que bnos cuenta esta noticia).
www.meneame.net/story/curiosidades-matematicas-142857 (El enlace está roto, no funciona)
Por tsnto, creo que el contenido de la noticia enviada no es duplicado.
fon.gs/nada-mas
for ($i = 1; $i <= 1500000; $i++) {
$ok = true;
$ar = array();
$r = (string)$i;
for ($p = 0; $p < strlen($r); $p++)
$ar[] = $r[$p];
for ($n = 1; $n < 7; $n++) {
$r2 = (string)($i * $n);
for ($l = 0; $l < strlen($r2); $l++) {
if (!in_array($r2[$l], $ar))
$ok = false;
}
}
if ($ok) {
echo $i."n";
for ($m = 1; $m < 7; $m++)
echo "x".$m." = ".($i*$m)."n";
}
}
1428570
x1 = 1428570
x2 = 2857140
x3 = 4285710
x4 = 5714280
x5 = 7142850
x6 = 8571420
1429857
x1 = 1429857
x2 = 2859714
x3 = 4289571
x4 = 5719428
x5 = 7149285
x6 = 8579142
Porque técnicamente, ése es el número que sigue al cuatro. ¿O a cuál te referías tú?
Para que dos numeros reales sean distintos, tiene que haber otro numero real (infinitos) entre ellos.
Y entre 3,999999...9, 4 y 4,000...1 no hay ninguno.
Y creo #9 se refería a 4,99999999...9
vaya chorrada como unsa casa 1 no es 0.9 periódico, es 0. periódico porque sino también podría ser 1.0000... y en el infinito un 1.
Muchas tonterías en ese artículo.
ya que
1/3 = 0.3333333 => 3/3 = 3*(1/3) = 0.999999999 = 1
Y os lo dice un chico de cuarto de la ESO.
Un saludo!
Mil gracias!
Si mi profesor de cálculo integral levantara la cabeza...
Que contiene la respuesta a el sentido de la vida, el universo y todo lo demás...
42
es.wikipedia.org/wiki/Límite_matemático
1/4= 0,25
0,25*5 = 1
Y te lo dice alguien que hace mucho que hizo la ESO.
#30 antes de seguir es.wikipedia.org/wiki/0,9_periódico
999999,9PERIODICO/7=142857
Lo sabia de hace años .
* Se multiplica por 10 los dos números: 10x = 9,999…
* Restando ambas expresiones: 10 x - x = 9,999… - 0,999…
* Se concluye que 9x = 9, es decir, x = 1.
0.999... hasta el infinito y bien, ¿Qué numero es ese? Ese numero no existe como tal porque infinito es un CONCEPTO y no un número por tanto no se puede decir que un periodo infinito corresponde al siguiente número real porque el infinito como tal, no existe.
... te mandaría a secundaria para que aprendieras lo que es un número periódico.
Si le comento esto al banco me libro de la hipoteca fijo...
0.9 periodico es cero coma seguido de infinitos 9, infinito es un CONCEPTO no un numero, se usa para designar algo inalcanzable algo que no tiene fin. Si no tiene fin quiere decir que siempre puedes poner un 9 más y nunca el siguiente número sera 1.0 ni equivale a 1.0, siempre podrás meter un 9 más. Eso es el concepto de infinito y de numero periodico.
Me parece una soberana tontería, por la misma regla de 3, todos los números divididos entre sí mismos cumplen esto.
0.9 periódico ES 1: Una fuente que he encontrado es, por ejemplo: www.mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html
EDITO: Vaya, ya has tenido muchas respuestas desde que lo leí. Bueno, aquí tienes una fuente más.
#44 Mira #43.
de portada, vamos..
¿como se puede entrar en una conversación con una perla así?
"0,25*5 = 1
Y te lo dice alguien que hace mucho que hizo la ESO. "
Y ahora trabajas en un banco y lo que redondeas es la comisión, ¿no?
De todos modos, es mejor la respuesta de #48. Es cuestión de notación.
¿Te das cuenta de que yo puedo cortar un trozo de cordel que mida 1/3 (0,333...) de metro? ¿Y que si junto tres como ese miden exactamente 1 metro?
A ver, comencemos por el principio. Las matemáticas son puramente abstractas. Sí, ese número se sabe cuál es, y lo que representa es exactamente lo mismo que uno, razón por la que son iguales.
Tampoco existen en la naturaleza los números complejos y ahí están, con sus operaciones matemáticas, sus relaciones, y todo. Y se pueden usar para representar cosas y todo.
Estoy de acuerdo contigo en que hay que pensar por uno mismo, pero no a base de ignorar a los demás. Cuando los demás piensan distinto, intenta entender por qué. Puede que descubras que tienen razón.
Si tomas el número 0.9 periódico como un valor conocido pues se llega a la conclusión de que es igual a 1
Si tomas el número 0.9 periódico como un número que no se conoce su valor porque no existe nunca sera igual a 1.
En el mundo real está claro que el que tiene razón soy yo, en el concepto abstracto matemático YO PIENSO que si se dice que 0.9 periodico es igual a 1 estas considerando que 0.9 es finito cuando no lo es.
No lo intentes medir con una regla porque te puedes dejar la vista en ello.
Faltaría más. Claro, si partes del supuesto de que algo NO EXISTE, ¿cómo va a ser igual a otra cosa que sí que existe?
Pero es que los números periódicos existen. Es tan simple como que tanto el 1 como el 3 existen, y por lo tanto 1/3 existe.
Hace mucho hiciste la ESO... pero no la aprovechaste eeeh
y si restamos el segundo numero al primero nos da el 0.999(infinitos)98, no?
Si soy capaz de ir y pedir 1/3 de kilo de pasta, pero la dependienta no será capaz de dármelo EXACTO me dará una aproximación pero no exacto porque es imposible.
#69 ¿Y si te dijera que puede dártelo exacto? ¿Y si en lugar de patatas tenemos canicas, concretamente tres canicas, y te pido que me des un tercio de tus canicas?
Y por que no va a tener infinitos 9 en medio? 0.999(infinitos)9 tiene infinitos 9 en medio tambien, no?
No puede existir 0.9(infinitos) y después un 8 porque infinitos nunca se acaba, pero de la misma manera que en realidad no existe 0.9 infinitos.
El valor es un tercio. ¿No se conoce?
Un tercio de 6 es 2. Si puedo multiplicar un número natural (seis) por otro y sé exactamente lo que me va a dar, ¿cómo puedes decir que no conoces el valor?. Simplemente es un tema de notación: Te lo voy a poner con un ejemplo un poco raro, pero lo vas a ver rápido.
Lo normal es trabajar con números decimales, aunque también se usan hexadecimales o binarios en computación. Pero trabajemos en base 3:
1, 2, 10, 11, 12, 20... serían la reprentacíón de 1,2,3,4,5,6...
Un tercio en decimal es 1/3, que base 3 sería 1/10. Resolviendo la división tienes que:
1/3=0.33333333 es lo mismo que 1/10=0.1 en base 3. No es infinito. Simplemente en base 10 no se puede representar con un número finito de decimales. Y son dos cosas totalmente distintas. Por ejemplo en base 2 no puedes representar un décimo, ya que es periódico: 0.0001100011000111000111... (binario) Si nosotros trabajásemos en base 2, me dirías que un décimo es un número infinito?
Si, el problema creo que está en intentar cuantificar el concepto de infinito.
Si lo pudieramos cuantificar no existirian los numeros para ello ya todos serian = 0, un unico numero que lo abarcaria todo...
Y sí, 0.999...=1 de la misma manera que 123/123=1
madre mía #77, si no entendió lo del cordel...
Y te lo dice mi hermanito que va en cuarto de primaria.
#14 Entonces no hay ningún número que siga al cuatro, ¿no? Entre cualquier número real distinto del cuatro y el propio cuatro siempre vamos a poder meter otro número.
#80 Efectivamente, el concepto de siguiente no tiene sentido con números reales.
Mientras que el número 3*1/3 pertenece al intervalo [0,1] porque es 1.
Si lo que queremos decir es que 0,9999...= 1, y por tanto perteneciente al intervalo [0,1], entonces deberemos representarlo de forma decimal como 0,9 añadiendo un arco sobre el 9.
#77 no me digas un 1/3 de 6 o 1/3 de 3 canicas valor que podemos sacar y en ese caso si existiria. pero el 1/3 como tal y como división su valor es desconocido. ¿Por qué en algunos casos si podemos conocer el valor de un número y en otros no? Esto da para debatir muchas y muchas horas, pero parece que como algunos conocidos matemáticos dijeron que las matemáticas son exactas son así por narices y los demás lo aceptamos.
No sois capaz de desmontar mi teoría ni yo seré capaz de rebatir la vuestra esto es como se quiera ver el tema del infinito es un concepto que se escapa del entendimiento humano y para mi es una osadía intentar ponerle un valor que es lo que estáis haciendo.
Es como intentar explicar el concepto de Dios o afirmar que existe o que deja de existir, simplemente no lo sabemos, como no conocemos el concepto de infinito.
0.9 periódico tampoco acaba en 9, sencillamente no acaba nunca de tener nueves uno detrás de otro, así hasta el infinito.
Y como el infinito no es que sea grande, es que no tiene fin, ese número es tan cercano a 1, pero tanto, que no hay ningún límite entre los 2, ningún número que vaya en medio, ni ninguna propiedad ni nada que los diferencie. Por eso se dice que 1=0.9(periodico)
¿Cómo que no? Ha sido rebatida varias veces ya con distintos argumentos. Con el ejemplo de las canicas en #71 te demostré que el número puede tener existencia en la vida real, tal y como también indicó #77. Además, #77 mostró como el hecho de que un número sea periódico o no depende de la base numérica elegida, por lo que decir que no existen es análogo a decir que no existe el número 0.1. Por otro lado, te han dado varias demostraciones (por ejemplo #23 o ¡la tuya misma en #34!) de que 0.999... es igual a 1.
¿Qué más quieres?
#83 Te acabo de poner un contraejemplo, sólo tengo que cambiar la base numérica y deja de ser "desconocido" o "infinito". Y es más, te he puesto un número que parece normal y al cambiarlo de base pasa a ser periódico.
Y sin que sirva de ejemplo (ya te lo he dado), te copio de la Wikipedia: Bajo la denominación de 'ciencias exactas' se incluye a la matemática y a todas las ciencias que se sustentan en la experimentación y la observación y pueden sistematizarse utilizando el lenguaje matemático para expresar sus conocimientos.
#85 Ya te he reconocido que en ocasiones si podemos conocer su valor, y en otras no podemos conocerlo, esto es lo que hacen que para mi las matemáticas no sean exactas.
Nadie puede negarme este punto de vista porque como ya he dicho ninguno de los presentes conocemos el concepto de infinito.
Yo no voy a seguir con este debate, muy interesante por cierto, pero ya los dos "bandos" hemos dado nuestros argumentos y nos estamos repitiendo.
#86 Tranquilo amigo te podías ahorrar lo del último intento, porque lo he entendido a la primera, sois vosotros lo que no entendéis mi punto de vista. Yo se que cambiándolo de base puedes obtener el valor exacto y que depende de la notación, pero esto no hace que en el sistema decimal sea inexacto. Porque si lo aplicas al concepto de que con otras bases si puedes entonces en otras bases es donde serán iguales, pero en la base decimal no lo serán.
Este es mi último comentario sobre el tema, no por nada, sino porque creo que ya no hay debate, han quedado claro los dos puntos de vista.
Yo puedo decir que la capital de Francia es Cuenca, y no es un punto de vista, es una tontería.
Es una cuestión de notación. Si los números los representas con otra base (como dicen por ahi con base 3) es posible que ese número tenga una representación exacta.
Si no conoces el concepto de base 2, base 10, etc no puedes pretender entenderlo. Por suerte no pretendes entenderlo, sólo dices una y otra vez tu idea de "las matemáticas no son exactas". Lo cual es realmente gracioso.
Seguro que conozco el concepto de base igual o mejor que tú ;).
Si consigue separarme un 1 Kg en 3 partes exactamente iguales o partirme una hoja de papel en 3 partes también iguales te daré la razón. Antes de decir que los demás dicen tonterías da argumentos de porque son tonterías ;).
La ecuación de #34 para mi forma de ver las cosas, está mal planteada. Es decir, x = 0'999...; 10x = 9'999...; 10x - x = 9'999... - 0'999...; 9x = 9; x = 1.
Obviamente, algo no cuadra. La serie de decimales de '9' es indeterminada, según comentáis, infinita; y a algo 'infinito' no se le puede restar otro 'infinito', aunque se dé por supuesto que sean iguales (no es lo mismo 'infinito' que una serie del tipo 1, 2, 3, ..., n). Cualquiera que haya hecho el bachiller sabrá de indeterminaciones del tipo "infinito - infinito", "0 x infinito", etc. a la hora de tratar con límites, que tienen distintos métodos de resolución, y que dan el valor de un determinado f(x) cuando 'x' tiende a un nº, no cuando 'x' es ese nº.
Por ello, esa ecuación es un juego de números. Para que 'x = 1', se debe determinar el nº de '9' que hay en la parte decimal; por ejemplo:
x = 0'99
10x = 9'9
10x - x = 9'9 - 0'99
9x = 8'91; --> x = (8'91)/9, que no es 1.
No se pueden realizar operaciones aritméticas básicas con números indeterminados, ni operar con infinitos de ese tipo que no corresponden a una serie A(n) (el que sabe matemáticas sabe que se puede operar con 'distintos infinitos' entre series de números en base a un término 'n').
En segundo lugar, yo afirmo, respetando todas vuestras opiniones, que he leído para tratar de "ubicarme" (porque se las trae), que 0'999... hasta el infinito no es 1. Un argumento genial es que ha usado #82 que, para mi forma de pensar, es respuesta definitiva.
El '1', además de ser un símbolo que denota un número, en este caso, la unidad, es un concepto. El 0'999... hasta infinito es otro concepto distinto que está incluído en la unidad, pero que no lo iguala.
Si tomamos la unidad como un conjunto A, éste sería el intervalo cerrado [0,1]. El int(A) es (0,1) y la fr(A) son los dos puntos aislados [0] y [1]. Es obvio que 0'999... pertenece al interior del conjunto y que [1] es la frontera, que son dos conceptos distintos. Se puede afirmar que 0'999..., cuando éste tiende a infinito, es uno.
Saludos a todos, se agradecen hilos de conversación así.
Se empeñan en que el concepto de límite e infinito no tienen nada que ver y es la esencia de todo esto.
Si se coge una calculadora normal, científica, etc. y se teclea un número X, de la extensión que sea, y se le aplica la operación "raíz cuadrada", de modo sqtr(X), sqtr(sqtr(x)), etc. un número determinado de veces, vamos viendo que el resultado es cada vez más parecido a esto:
1'0000000000000000001
1'000000000000000000001
1'00000000000000000000001
etc.
Hasta que finalmente da '1'. Luego, si se toma función "raíz de grado n sobre X", y a ésta se le hace tender a infinito... el resultado es '1'. Pero, si invertimos el resultado, que es '1', y lo elevamos a n, este n lo hacemos tender a infinito... el resultado no es el número X original. El resultado sigue siendo '1'.
Es otro ejemplo más. Leí una vez que esa clase de errores alcanzan una periodicidad de orden aleatorio que da lugar a las matemáticas dinámicas, no deterministas. La matemática del caos.
Creo que tienes un problema con lo que tú llamas "conocer un valor". El número 1/3 representa por sí mismo un valor. De 6 canicas un tercio es 2. Por lo tanto, SIEMPRE tiene valor definido.
#93 Eso que comentas no es un límite de una función, sino de una iteración. No es lo mismo hacer la raíz cuadrada n veces que tomar la raíz n-ésima. Ese detalle es importante.
No son aplicaciones, son curiosidades, creo que lo dije varias veces en el artículo, incluso al final enlacé otro artículo sobre la estupidez de la numerología..
0,99999...+0,1 = 1,09999..., 0,99999+0,001 = 1,00999, así hasta , 0,9999...9+0,0...1 = 0,0...09...9 (no sé si se entiende, los ... representan infinitas veces el dígito anterior) es decir, en el peor de los casos: sumarle un 0, todos los ceros que queráis y un uno al final de todas formas el resultado sería 1, un montón de ceros y seguido de infinitos nueves, que es mayor que 1
Sin embargo todas las pruebas en contra son balbuceos basados en una idea esotérica y romántica del "infinito"
A(n) = {0'9, 0'99, ..., 0'9..k..9, ..., 0'9..n-1..9, 0'9..n..9},
donde 'k, n' son números N (natural) tal que 0 <k <n-1 <n. El tº 'n' representa el nº de nueves que hay en la sucesión, y 'k' es un nº de nueves cualquiera. Lo términos de ésta serían de la forma:
a(1) = 0'9
a(2) = 0'99
...
a(k) = 0'9..k..9
...
a(n-1) = 0'9..n-1..9
a(n) = 0'9..n..9
Imaginemos que 'n' tiende a infinito. Tendríamos una secuencia de 0'9...9 en la que la parte decimal '9' es infinita.
Sigamos:
B = {0'1, 0'01, ..., 0'0..k..1, ..., 0'0..n-1..1, 0'0..n..1},
donde 'k, n' son números N (naturales) tal que 0 <k <n-1 <n. El tº 'n' representa el número de ceros que hay en esta sucesión, y 'k' es un nº de ceros cualquiera. Los términos de la sucesión serían del tipo:
b(1) = 0'1
b(2) = 0'01
...
b(k) = 0'0..k..1
...
b(n-1) = 0'0..n-1..1
b(n) = 0'0..n..1
Imaginemos que 'n' tiende a infinito. Tendríamos una secuencia de 0'0...1 en la que la parte decimal '0' es infinita.
Si ahora sumásemos, término a término, cada uno de los elementos de A y de B, de la forma:
A + B = {a(1) + b(1), a(2) + b(2), ..., a(k) + b(k), ..., a(n-1) + b(n-1), a(n) + b(n)},
tendríamos:
a(1) + b(1) = 1
a(2) + b(2) = 1
...
a(k) + b(k) = 1
...
a(n-1) + b(n-1) = 1
a(n) + b(n) = 1,
puesto que el orden primero, segundo, ..., k-ésimo, ...(n-1)-ésimo, n-ésimo es común en ambos conjuntos. Es dcir, ser primero es ser primero en ambos conjuntos, al igual que ser egundo es ser segundo en ambos conjuntos; ser k-ésimo es lo mismo para A y B, ser n-ésimo es lo mismo para A y B.
Al poner tu ejemplo, <<0'99999... + 0'1 = 1'09999...>> estás cometiendo el error de sumar un número que tiene un número indeterminado de decimales con un número que sí tiene sus decimales determinados; vamos, estás sumando a(k) con b(1), y eso no tiene sentido.
Saludos.