edición general
164 meneos
2086 clics
Una fórmula que genera los primeros 42.000 millones de decimales de π y luego deja de ser precisa

Una fórmula que genera los primeros 42.000 millones de decimales de π y luego deja de ser precisa

Me sorprendió un tanto cruzarme con esta referencia a una fórmula de π en la que se da una fórmula bastante breve y aparentemente sencilla al menos de aspecto para el número pi. Ahora bien, se trata de es una fórmula «incorrecta», cuyo resultado es muy parecido a π, pero no es exacta. El cómo se deducen y comprueban este tipo de detalles es toda una aventura matemática.

| etiquetas: fórmula , pi
87 77 2 K 368 cultura
86 comentarios
87 77 2 K 368 cultura
Comentarios destacados:                    
#3 ¡Vaya trampa! La fórmula no es más que una aproximación mediante sumas de Riemann de la integral de e-x2 en toda la recta real.

es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann
es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Gauss
  1. jonolulu #1 jonolulu
    Teniendo en cuenta que para el cálculo de órbitas dentro del Sistema Solar con 7 decimales ya tienes una aproximación a un palmo...
    11 K 96
  2. ochoceros #2 ochoceros
    #1 Se puede calcular la longitud de la circunferencia completa del universo con la precisión de un átomo con sólo 39 decimales de π.
    19 K 140
  3. Idomeneo #3 Idomeneo *
    ¡Vaya trampa! La fórmula no es más que una aproximación mediante sumas de Riemann de la integral de e-x2 en toda la recta real.

    es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann
    es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Gauss
    21 K 195
  5. #5 --424445-- *
    Es lo que tienen las aproximaciones, que se acercan mucho al resultado final, pero no son exactas.

    Por cierto, aquí ya resolvieron el asunto

    m.youtube.com/watch?v=6FdbqXZukhg

    :roll:
    0 K 12
  6. ElPerroDeLosCinco #6 ElPerroDeLosCinco
    #3 Yo no veo la trampa. El propio titular ya dice que es un cálculo aproximado. Lo que lo hace interesante es que sea tan extremadamente preciso, pero que no sea realmente exacto.
    6 K 62
  7. masde120 #7 masde120
    0.99999999999999999999999999... = 1 me demostraron a mi en el cole
    2 K 13
  8. vilujo #8 vilujo
    Mi comentario iba a ir encaminado a que hablaba de 42.000 millones de decimales ya debía ser suficiente y en la noticia ya plantea que el record actual va por 50 billones de decimales. Vamos la formula no sirve para nada.
    0 K 7
  9. Burrofleta #9 Burrofleta
    Cojonudo: una aproximación de 42000 millones de decimales y hay comentarios que dicen que no sirven para nada...

    Para estos listos, que se queden con la aproximación de Dios, que en la Biblia (construcción del Templo de Salomón) dice que Pi es 3 (tres)
    1 K 15
  10. sorrillo #10 sorrillo *
    #9 Teniendo en cuenta que el número Pi puede tener perfectamente infinitos decimales esta fórmula del meneo contiene infinitos errores en su resultado.

    Por cierto la búsqueda en Google "pi infinitos decimales" devuelve como respuesta que Pi tiene exactamente 14.919.356.345.101 cifras decimales. Lo que no dice el extracto que muestra Google es que eso se publicó el día de los inocentes.

    www.google.com/search?q=pi+infinitos+decimales
    0 K 11
  11. Varlak #11 Varlak
    #3 y porque es trampa?
    0 K 11
  12. #12 fpove
    A mi con 355/113 ya me vale xD.
    2 K 26
  13. #13 --675896--
    #9 Ala, ala... menudo falso dilema que te has marcado, chacho.
    1 K 16
  14. sonixx #14 sonixx
    #7 te lo demostraron o te lo tragaste ?
    0 K 7
  15. #15 rbrn
    #1 #2 o_o
    3 K 29
  16. Varlak #16 Varlak *
    #14 demostrado
    1-0'999999... = 0'00000.... Y como nunca llega el 1 "del final" =0.

    Dado que 1-0'99999... =0 si pasas el segundo término al otro lado:
    1=0'999999...

    Hay otras formas de demostrarlo, ésta es la más fácil de entender, pero todas dan el mismo resultado.
    1 K 14
  17. #17 --165145--
    #6, en realidad que sea tan preciso no es sorprendente. Si escribes Pi como un límite, y cada elemento de la sucesión es una serie, puedes elegir un elemento de la sucesión que se acerque a pi tanto como quieras y de ahí se obtiene la serie incorrecta de precisión deseada.

    Por cierto, la serie es además totalmente inútil, porque para empezar utiliza el número e, así que en la práctica además para obtener cálculos con precisión necesitas una precisión enorme en el número e, lo que a su vez hace que las operaciones sean muy lentas a tener que operar en cada sumando con una cantidad enorme de dígitos.
    7 K 65
  18. Varlak #18 Varlak
    #8 claro qué sirve, para tener un cálculo aproximado pero más fácil de memorizar que un churro de números.
    0 K 11
  19. #19 --523080--
    #2 Si acaso, si el universo fuera esférico, cosa que no se sbe.

    www.lasexta.com/tecnologia-tecnoxplora/ciencia/astronomia/que-forma-ti
    2 K 16
  20. #20 --165145--
    #3, de hecho cambiando el 105 por un número tan grande como quieras, y el 1010 por su cuadrado, obtendrás una fórmula tan precisa como quieras (al igual que inútil, porque trabajar con la exponencial de e n ies práctico).
    1 K 26
  21. #21 --165145--
    #7, no exactamente, más bien que lo de la izquierda es 1 mal escrito.
    2 K 31
  22. RivaSilvercrown #22 RivaSilvercrown
    #17 no me acuerdo mucho de mis matemáticas de la carrera pero el sentido de usar este tipo de expresiones es poder llevarlo al dominio de Fourier y hacerle la vida más fácil al ordenador allí, no?
    1 K 16
  23. mirav #23 mirav
    #10 Pi no es que pueda tener infintos decimales, es que los tiene y ademas esta verificado desde hace muuuchas generaciones. en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational
    5 K 50
  24. sonixx #24 sonixx
    #16 tío, esa demostración no tiene mucho sentido, rige alguna norma matemática ?
    2 K 24
  25. Karaskos #25 Karaskos
    #9 Es que el Todopoderoso todavía no le había dado los humanos poder ni conocimientos para calcular el número Pi, se lo guardaba para él :shit:
    0 K 7
  26. neo1999 #26 neo1999
    #19 Ya llegó el universoplanista :-P
    5 K 43
  27. #27 --625430-- *
    #17 En Scheme suelo utilizar pi con (* 4 (atan 1.0) como valor. En sintaxis "humana" es " (4 * arctan(1.0) )".
    0 K 9
  28. BM75 #28 BM75 *
    #19 Entiendo que el compañero #2 se refiere al universo observable, que lógicamente es esférico. Esto no es ninguna contradicción con que la forma del universo sea, seguramente, plana.
    Del resto del universo no podemos calcular nada porque no sabemos nada, aún menos medirlo.
    c/c #26
    5 K 46
  29. neo1999 #29 neo1999
    #18 Yo es que cuando llego al decimal 40.000.000.000 ya me pierdo, tengo muy mala memoria.
    3 K 37
  30. #30 --660959--
    #12 Yo con un 4 me basto. Y si alguien tiene pegas, le digo que es PI más un coeficiente de seguridad.
    0 K 6
  31. BM75 #31 BM75
    #16 Eso no es ninguna demostración.
    2 K 25
  32. #32 --625430--
    #23 Como la raíz de dos. Hay infinitos puntos en un círculo, los mismos que en la diagonal de un cuadrado. Si intentamos hacer un zoom infinito al vértice, vemos que nunca termina de estar "afilado", por eso vas a encontrar decimales para siempre.
    0 K 9
  33. #33 --625430--
    #12 22/7 :-P
    1 K 20
  34. #34 --165145-- *
    #22, a ver, la integral a la que se está aproximando es parecida a las expresiones de la transformada de Fourier, que es lo que me imagino que tienes en mente.

    Luego lo que se está haciendo aquí es aproximar la integral por una suma (en este caso serie Riemann), pero en un ordenador, la fórmula que vas a utilizar para aproximar este tipo de integrales va a ser distinta (trapecio, Simpson, Newton-Cotes de algún orden superior, o muchas otras), ya que el ordenador no te va a saber hacer la integral de forma exacta.

    Pero en este caso al estar usando la función exponencial tienes un problema, y es que a su vez la función exponencial para calcularla el ordenador va a utilizar una serie, y claro, si quieres mucha precisión, necesitarás mucha precisión aquí también, por lo que el cálculo de cada exponencial será muy costoso, y al tener que hacerlo muchas veces, pues eso.

    Vamos, al ordenador no le facilitas mucho.
    5 K 46
  35. #35 unpaseante *
    #16 Discrepo en que sea la forma más fácil de entender lo dicho por #14, es mucho más fácil entenderlo sin cálculos aritméticos. Lo que voy a comentar simplemente apela a identificar cuál es el axioma de los que ponemos en los reales (los matemáticos entendemos los números reales, entre otras posibilidades equivalentes, como el único cuerpo ordenado arquimediano y completo por sucesiones de Cauchy) y esconder ese detalle.

    La intuición detrás de la definición de los números reales está en que corresponden (de forma biunívoca) a las posiciones en una recta (por eso hablamos de la recta real). En particular, puesto que en nuestra intuición espacial se cumple que "entre 2 puntos diferentes de una recta tiene que haber algún (de hecho infinitos reiterando este mismo principio) punto estrictamente (i.e., diferentes de los puntos iniciales) en medio" cualquier definición razonable de los números reales debe cumplir que "entre 2 números reales diferentes tiene que haber algún número real estrictamente en medio" (los matemáticos resumimos este hecho con la afirmación que los números reales son densos).


    Es la densidad de los números reales la que mejor explica que 1 tiene que ser igual a 0'9999999... ¿Por qué? Porqué si fueran diferentes entonces, por la densidad, debería haber algún número entre ellos y es evidente que ninguna representación decimal con infinitas cifras puede estar en medio (ciertamente también estoy aprovechando la intuición que los todos números reales se pueden representar mediante la sucesión infinita de sus cifras decimales, pero esto la gente lo acepta sin problemas). La densidad, junto al hecho que los números reales se han de poder (pero para nada de forma única) representar en base 10, es la que te obliga a aceptar que 1 se refiere al mismo número (i.e., a la misma posición en la recta) que 0'9999999...
    2 K 26
  36. #36 --625430-- *
    #16 No.

    1/9 = 0.111111111111111...

    1/9 * 9 = 0.999999999999... = 1.
    3 K 34
  37. BM75 #37 BM75 *
    #12 7 decimales de aproximación es bastante bueno.
    Gracias por la info, no conocía ese racional ni que tenía nombre: Milü o Zulü.
    0 K 8
  38. Idomeneo #38 Idomeneo
    #11 Porque está basada en esta expresión conocida que tiene "todos" los decimales exactos:

    twitter.com/karakfa/status/1366921759090475015

    Del titular yo me esperaba algo tipo 355/113, algún tipo de fórmula encontrada por casualidad, no algo que es casi la definición de pi, y que además exige calcular los infinitos términos de una serie.
    2 K 18
  39. #39 Gutierrez86
    #24 a mi me gusta más:

    Entre 2 reales distintos cualesquiera hay infinitos reales. Entre 0.9 periodico y 1 hay 0 reales. Por tanto no son distintos
    5 K 38
  41. #41 --165145-- *
    Por cierto, en #17 donde digo precisión para calcular e, en realidad sería precisión para calcular e x, que para esto realmente no se necesita calcular el número e, pero vamos, que el coste es equivalente, de hecho en el caso x=1 es calcular e.
    2 K 33
  42. #42 atsider *
    #27 yo acos(-1.0), o si no, directamente lo que salga de la calculadora, que no necesito más de 4 decimales.
    0 K 6
  43. sorrillo #43 sorrillo
    #32 Hasta que llegues a la distancia de plank :troll:
    1 K 18
  44. #44 --625430-- *
    #43 En papel y lápiz o en Scheme según la precisión no debería haber problema :-P .
    1 K 20
  45. sonixx #45 sonixx
    #39 a ver que lo que dices es resolver teniendo la respuesta, no te demuestran nada, parte que estás intentando explicar un problema matemático utilizando otro como base
    0 K 7
  46. Varlak #46 Varlak *
    #31 si lo es, pero como he dicho, hay muchas otras formas de demostrarlo
    0 K 11
  47. pedrobz #47 pedrobz
    #28 La forma del universo es curva, lo curva la materia, y a medida que pasa el tiempo se va curvando mas...
    0 K 7
  48. NotVizzini #48 NotVizzini
    #3 Si no me falla la memoria, hace 25 años ya, es lo que usé para hacer iteraciones en clipper acumulando decimales para un programa que presenté como "trabajo de investigación" en Batchillerato. Creo que calculaba 50 decimales o algo así, aun lo tengo guardado por ahí...
    0 K 9
  49. BM75 #49 BM75 *
    #47 No lo sabemos como para afirmarlo con esa rotundidad. Ni muchísimo menos.
    El mayor consenso dice que es plano, aunque curvado, e infinito.
    Te dejo este artículo de Alex Rivero, que explica bastante bien y de forma sencilla lo que suponemos hasta ahora:

    ¿QUÉ FORMA TIENE EL UNIVERSO?
    www.astrobitacora.com/que-forma-tiene-el-universo/
    1 K 15
  50. EmuAGR #50 EmuAGR *
    #30 Pi es tres exactamente. :troll:
    Aunque bueno, yo como ingeniero uso 10 y ronda un orden de magnitud similar, que es lo importante. 8-D
    0 K 10
  51. #51 Gutierrez86
    #45 bueno, demostración de que entre 2 reales no hay infinitos reales si y solo si esos reales son iguales hay muchas.

    Una vez demostrada una cosa se puede emplear para demostrar otras, es como funciona, si no los papers ocuparían varios tomos(o bibliotecas enteras) hasta llevar todo a axiomas básicos
    0 K 6
  52. oliver7 #52 oliver7
    #2 entonces Pi es Dios?
    1 K 19
  53. ochoceros #53 ochoceros
    #52 No, π > dios.

    Y si me apuras, π > tries.
    2 K 29
  54. sonixx #54 sonixx
    #51 creo que no habéis pillado lo que digo, que eso en el colegio no lo han explicado, nada más
    0 K 7
  55. #55 --523080--
    #26 Un universoplanista diría que es una herejía decir que es esférica, yo solo sé que ni los científicos tienen claro si es plano, esférico o con forma hiperbólica.
    youtu.be/YJHvMB50x58?t=270
    0 K 11
  56. #56 unpaseante
    #54 ¿estás de coña no?

    En todos los colegios se enseña como calcular la media aritmética de dos números, i.e., en todos se ha visto que entre dos números siempre hay otro estrictamente en medio.
    0 K 6
  57. Javi-_Nux #57 Javi-_Nux
    Y cuantos terminos del sumatorio utilizan, porque infinitos imagino que no
    0 K 6
  58. Idomeneo #58 Idomeneo
    #57 La propiedad dice que la expresión de la izquierda es igual a π con 42000 millones de decimales exactos. Por lo tanto, están usando la serie completa. Así que no se trata realmente de un método para calcular π. Si alguno tiene la paciencia de irse al PDF encontrará esto:

    Before continuing, we mention that the series in (1.1) would yield a very inefficient computer algorithm for the actual numerical evaluation of the digits in π . We are not discussing the use of this series for numerical computation. We are considering the series as a representation of a number remarkably close to π.
    1 K 18
  59. #59 Sesino
    #2 ¿Y cual dices que es el resultado? :troll:
    1 K 13
  60. sonixx #60 sonixx
    #56 pues no, en el colegio no se enseña que tenga que haber un número entre dos, ni cercano, ni media aritmética, media y ya está, ni aritmética ni geométrica
    0 K 7
  61. AdaSH #61 AdaSH
    #7 #14 Creo que es bastante aclaratoria la demostración que creo que es la más sencilla:

    10 / 3 = 3,33333333...

    9,99999999.... / 3 = 3,33333333...

    Y lo que es lo mismo.

    3,33333333... x 3 = 10

    3,33333333... x 3 = 9,9999999...
    0 K 7
  62. drocab2012 #62 drocab2012
    Me parece que con menos de 100 decimales ya puedes calcular cosas....
    0 K 7
  63. sonixx #63 sonixx
    #61 madre mía
    0 K 7
  65. #65 bargusi
    #47 Pero eso no afecta a la longitud de la circunferencia.
    0 K 6
  66. #66 unpaseante *
    #60 Pues les enseñas tú que si a < b son dos números positivos entonces:
    - "a" es siempre menor que "(a+b) / 2" y que este es siempre menor que "b".

    Solo se necesitan manipulaciones elementales que se explican en el colegio. A los alumnos hay que enseñarles a pensar no a memorizar (parece que creas que si a los alumnos no se les dice algo de forma literal ellos no son capaces de averiguarlo pensando).
    1 K 17
  67. #67 jcferraz
    A ver si encuentran de una vez el mensaje en binario oculto a partir de ciertos decimales.
    0 K 8
  68. pedrobz #68 pedrobz
    #65 A quien contestaba hablaba de la forma del universo, otra cosa es el universo observable, que ese sí es un diámetro, pero su longitud depende de la velocidad de la luz y la constante de hubble, que esa es una derivada del tira y afloja que tiene la gravedad y la energía oscura.
    0 K 7
  69. sonixx #69 sonixx
    #66 no, no se da en colegios, por dios está discusión es absurda
    0 K 7
  70. #70 unpaseante
    #69 Ciertamente es ridículo hablar de matemáticas con una persona que se cree que las matemáticas son libros cerrados con contenidos: hay el libro de la ESO, el del bachillerato, el de la universidad, etc

    Ya el gran Leon Henkin dijo claramente que ese era precisamente el más habitual error cometido por los profesores de matemáticas de secundaria: "One of the big misapprehensions about mathematics that we perpetrate in our classrooms is that the teacher always seems to know the answer to any problem that is discussed. This gives students the idea that there is a book somewhere with all the right answers to all of the interesting questions, and that teachers know those answers. And if one could get hold of the book, one would have everything settled. That's so unlike the true nature of mathematics."
    0 K 6
  71. sonixx #71 sonixx
    #70 a ver, tú puedes venir a comentar tu libro o tu película, pero sigue pasando lo mismo, en los calegios no se da lo que tú dices.
    Tanto cuesta aceptarlo? No entraré en las estupideces que dices, es que no se da, tanto cuesta ?
    Flipo con las subnormalidades que leo por aquí, es que no se da, y punto, no digo que sea importante o no, es que simplemente eso no se explica en un colegio que teóricamente es de la eso para abajo.
    Y es que flipo con la respuestas que dais, es que ni lo saben gente de instituto.
    Pero lo solucionais con una simpleza que es insultante, bueno, es la prepotencia típica de meneame
    0 K 7
  72. #72 unpaseante
    #71 Lo alucinante es que tú creas que la gente de los colegios es tonta (además de los meneantes), eso es lo alucinante.

    Para justificar lo que he dicho antes sobre que "a" es siempre menor que "(a+b) / 2" y que este es siempre menor que "b" simplemente hace falta saber sumar, multiplicar, dividir y saber que esas operaciones preservan el orden (entre los positivos). Pero tú, erre que erre con que eso no se da.

    ¿De verdad crees que los alumnos no pueden entender eso?
    0 K 6
  73. #73 --675896--
    #43 xD xD xD xD Te lo has ganado  media
    0 K 7
  74. sonixx #74 sonixx
    #72 no, repito lo que has explicado antes no se da en los colegios, tanto cuesta aceptarlo ?
    0 K 7
  75. #75 flixter
    #50 espero que uses 10 para aproximar pi^2, mas que pi... Sinó, sigues siendo ingeniero... Pero la aproximación es muy mala ;)
    0 K 7
  76. #76 flixter
    #62 con menos de 1 tambien, de manera "algo" mas aproximada, pero también xD
    0 K 7
  77. EmuAGR #77 EmuAGR
    #75 Es broma, claro. Pero en Electrónica tenías que simplificar resistencias dentro de un 10% de error para que te diera tiempo a hacer el examen, o en la aceleración de la gravedad usabas 10 en vez de 9,8...
    0 K 10
  78. #78 flixter
    #77 Nosotros, en telecos en barcelona, hacíamos lo mismo... pero pi^2 era 10, no pi ;) Quiero decir que que has dejado el cuadrado antes :-)
    0 K 7
  79. #79 --165145-- *
    #36, esa demostración tiene un problema. Al multiplicar se hacía de derecha a izquierda. Pues bien, ¿por dónde empezás si hay infinitos 1's a la derecha?

    La cosa está en que 0.9999999... es un número mal escrito.

    CC #61
    2 K 31
  80. #80 --165145--
    #8, a ver, al varía un poco la fórmula. Cambiando el 10^5 y el 10^10 por números más grandes aún (el segundo siendo el cuadrado del primero) y obtendrás una fórmula aún más precisa. Si tomas por ejemplo 10^1000000 y 10^2000000 seguro que los decimales de precisión son aún mayores.

    Pero aún así seguirá siendo inútil, porque con las fórmulas actuales que se usa para calcular Pi podrás obtener también esa precisión y además mucho más rápido que lo que se haría con dicha fórmula.
    0 K 15
  81. #81 --165145--
    #9, hola, soy matemático y en un principio* esta fórmula no sirve de nada. Fórmulas que te den tantos decimales de Pi como quieras las hay a porrillo, y esta en particular es extremadamente lenta y nada práctica. Es como si para multiplicar 2x10^500 te dedicaras a hacer una suma con 10^500 su mandos de la forma 2+2+2+...

    *digo en un principio por si acaso tuviera alguna utilidad teórica para demostrar algo que se me escape, pero estoy casi seguro de que no. Pero para calcular pi ya te digo que no es nada útil.
    0 K 15
  82. #82 --625430--
    #79 Bueno, en Scheme para ciertos números se opera en fracciones directamente, y si quieres el valor "decimal" tienes la función exact->inexact (y viceversa).

    (exact->inexact 1/3)

    te devolvería 0.333333333333333333...4
    0 K 9
  83. #83 --625430--
    #78 Pi^2 = 10 se aproxima bastante, la raíz de 10 era 3,162 o similar.
    0 K 9
  84. #84 flixter
    #83 exacto
    0 K 7
  85. #85 --165145--
    #82, ¿me estás diciendo que redondea el "último decimal" a 4? Si fuera 2/3=0.666666666666.... vale, al cortar por alguno se redondea el último a 7, pero en el caso de 1/3 no.
    1 K 24
  86. #86 --625430-- *
    #85 No sé, tendría que probar diferentes intérpretes.

    EDIT: El intérprete Guile2 da 1,3 periódico exacto. Con (exact->inexact (/ 1 3)).

    Con (/ 1 3), directamente muestra el valor en modo fracción.

    "Scm" del MIT lo mismo, pero con e-1 al final, usando notación científica.
    0 K 9
comentarios cerrados

menéame