El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero. También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo. En este artículo se ve su definición y algunas de sus muchas demostraciones, y se muestran algunas aplicaciones a través de ejemplos.
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etiquetas: matemáticas , educación
Relato que merece muuuuuucho la pena, sobre comunicación con extraterrestres.
Obviamente, ellos no conocen nuestro idioma, ni nosotros el suyo. Es más: tal vez ni siquiera perciban las ondas sonoras, ni la luz en el espectro visible. No utilizan las mismas letras que tu, ni los mismos números, seguramente no cuenten en un sistema decimal.
Solución: el teorema de Pitágoras. Si han conseguido volar con una nave desde fuera de nuestro planeta hasta donde están ahora, es seguro que lo conocen. No saben quien es Pitágoras, pero sabrán lo que haces si dibujas con tres palos en el suelo un triángulo rectángulo, y luego pones piedras a su alrededor: tres en el cateto corto, cuatro en el largo y cinco en la hipotenusa. Parafraseando a M. Candy en Django Desencadenado: ya tenías su curiosidad, ahora también tienes su atención.
Se intentó durante siglos demostrarlo a partir de los 4 postulados anteriores hasta que se intentó hacer geometrías cambiando el axioma por otros. Esto dio lugar a la geometría riemanniana cuando se decide que no hay ninguna paralela y la de Bolyai o Lovachewsky cuando se decide que hay infinitas. Se encuentran modelos de ambas geometrías por lo que se demuestra la independencia del quinto postulado.
Además ambas geometrías tienen muchísimas aplicaciones hoy día.
María de Maeztu
Nombre Amadeo Artacho
www.meneame.net/legal#tos
Lo que me parece más fáscinante es que realizaran ejercicios geométricos con medios muy parcos y con una numeración que no era la nuestra. Muchas veces lo escritos eran sin números, si no literal, por escrito todo, sin cifras.
c/c #10
Ese artículo que crees, siempre tendrá muchas opciones de llegar a portada y se mantendrá en el top durante varias horas, haciendo uso de esa opción.
No la recuerdo literalmente, pero las risas.
No entiendo que quiere decir.
¿Es que a pitágoras se le ve como un sabio filósofo?¿Y que simón o pedro duque son sabios filósofos (o científicos) de la importancia de, no sé, Arquímedes o Galileo?
www.youtube.com/watch?v=bJOuzqu3MUQ
Dime qué dos soluciones tiene x^2 = 0, o x^2 -2x+1=0
cc #50
C/c #0
Y Greg Egan... pero es que Greg Egan son palabras mayores si te gustan las mates.
Si te refieres a que sea entera o racional, pues la mayor parte de las ecuaciones de segundo grado no tienen soluciones en los enteros, para eso inventamos los reales y los complejos.
El teorema de pitágoras es un milenio y pico anterior a las ecuaciones de segundo grado, en cualquier caso.
Pd: me lo apunto
1 * x^2 + 0 * X - 8282727 = 0
Era mi duda, si se consideraba grado dos si era incompleto.
X^3 + x^2 = X
Es un polinomio de grado 3, 3 soluciones, donde una solución es X=0 y dos soluciones de la ecuación X^2 +X = 1
(Alguno puede tener la tentación de simplificar la X y perder la solución X=0)
Según el significado habitual del lenguaje tienes razón... x^2 = 0 solamente tiene una solución.
Ahora bien, según el lenguaje matemático en lugar de "soluciones" en este contexto se emplea más el nombre de "ceros" y también de "raíces"... y se dice que hay raíces múltiples.
En el caso x^2 = 0 se dice que la "raíz" o el "cero" en x=0 es doble.
¿Por qué se dice eso?
Porque todo polinomio P(x) con coeficientes reales se puede descomponer como producto de monomios de la forma: K*(x - X1) * (x - X2) * (x - X3) ....
Donde X1, X2, X3 ... serían en general números complejos que representan las "raíces" o ceros.
La descomposición de P(x) = x^2 sería x^2 = x*x = (x - 0) * (x - 0)
Y ahí puedes ver que el cero está dos veces... tiene una multiplicidad de dos.
Si cuentas el número de multiplicidades el número TOTAL de "raíces" o "ceros" coincide exactamente con el grado del polinomio (es decir, el mayor exponente).
Otro ejemplo con la otra ecuación que dijiste sería:
Q(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = (x-1)*(x-1)
En este caso también hay una raíz de multiplicidad dos, que es x=1
Pero puede haber una de multiplicidad dos y otra de multiplicidad uno...
Por ejemplo:
T(x) = x*x*(x-1) = x^3 - x^2
En este x=0 tiene multiplicidad dos pero x=1 tiene multiplicidad uno.
Esto sería lo que se llama el "Teorema Fundamental del Álgebra" (TFA)... aunque a veces el teorema se enuncia de otras maneras, pero al final viene a ser eso.
Por ejemplo, una forma habitual de enunciarlo es que todo polinomio de grado mayor que cero tiene [al menos] una raíz [en el dominio de los complejos].
es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_álgebra
Es decir, que para algún número complejo "c" se cumple P(c) = 0.
Y dado que un polinomio se puede dividir por (x-c) de forma que si P(c) la división es exacta, es decir, con resto cero... al dividir tenemos otro polinomio, que por el mismo teorema TFA tiene al menos otra raíz c2... dividimos otra vez... y al final se descompone el polinomio original en un producto de la forma P(x) = K*(x-c1)*(x-c2)* ... * (x-cN)
siendo N el grado de P(x)
Por tanto, se dice que todo polinomio tiene tantas "raíces" como su grado... eso sí, con la puntualización que dije antes, que al decir el número de raíces se cuente en cada raíz diferente tantas unidades como su multiplicidad.
Por tanto, en cierto modo también #71 tenía razón.
X^2 = 0 y x= 0 no tienen la misma solución. La primera tiene 2 soluciones x=0 y la segunda 1 solución x= 0. Si te parece lo mismo, solo decirte que precisamente por tener X^2 = 0 dos soluciones x= 0, tiende a cero antes que x = 0.
#86 Lo siento pero no. El numero de soluciones indica su velocidad de tendencia. Un polinomio de orden x tiene x soluciones (repetidas o no)., el numero de repeticiones (o raices) afectan a la respuests del sistema. (Teoría de Sistemas, Teoría de Control).
#81 Sorry. No. Leete a #86
Pero vuestro argumento es: "es de segundo grado porque tiene dos soluciones, porque la que parece que es solución única en realidad es doble, y esto lo sabemos porque es una ecuación de segundo grado".
Eh, perdona, pero te has acelerado y has empezado a suponer cosas que yo nunca dije, y creo que #71 tampoco las dijo. Especialmente todo lo de "porque" son cosas que no hemos dicho.
Voy a citar palabras textuales que dijo #71 :
"El grado indica el número de soluciones que tiene la ecuación."
Él dijo "indica" no dijo "porque". Lo que vino a decir es que sabiendo el grado tienes una idea de cuántas soluciones va a haber.
Luego dijo: "Y es siempre el mayor superindice que acompaña a la x."
Eso lo que está diciendo literalmente es que el grado es el mayor exponente de la x, lo mismo que dices tú.
En cuanto a mi comentario #86 tampoco dije nada de ese "porque" como tú lo dijiste.
Lo que dije es "coincide exactamente con el grado del polinomio (es decir, el mayor exponente)."
Es decir, entre paréntesis doy a entender que el grado se define como el mayor exponente (de la x, se sobreentiende)... y dije que coincide... puntualizando antes que esta coincidencia es si al sumar todas las raíces cuentas la multiplicidad de cada una.
Por tanto, no hay razonamiento circular de ningún tipo: el grado se define de una forma y ese número coincide o indica otra cosa...
No mezclemos el 0 porque nos metemos en otro follón donde algunos lo engloban en N (numeros naturales) la ISO así lo hace, y otros mantienen que el 0 no pertenece a los Numeros Naturales, y lo engloban como en el mundo de los Numerod “completos”.
Si pensamos en y = x^2 - 4, tenemos 2 cortes, uno en +2 y otro en -2.
Si pensamos en y= x^2 - 1, tenemos 2 cortes, uno en +1 y otro en -1.
Si pensamos en y = x^2 - 0.000000000001, tenemos 2 cortes infinitalmente proximos.
Si pensamos en y = X^2 - 0 puedes verlo como un único corte, o como dos cortes, según la corriente filosófica matemática que mas te guste.
De hecho, si consideras que y = x^2 -4 tiene 2 soluciones de multiplicidad 1, lo que estas diciendo es que cada solución está cortando 1 vez y tienes 2 cortes.
Si consideras que y = x^2 - 0 tiene 2 soluciones de multiplicidad 1 ( +0 y -0) también estas diciendo que tienes 2 cortes. Y si consideras que y=x^2 -0 tiene 1 solución con multiplicidad 2, estás diciendo que tiene 2 cortes (debido a su multiplicidad) en 0.
El 0 ha dado lugar a este y muchos otros debates durante toda la historia. Y todo parte por considerarlo como un valor o considerarlo como un no valor.
Cualquiera puede ver que en mi comentario #109 no lo insulté, ni en ningún otro, y dijo en 111 que yo lo insulté. Dije que la manipulación es vulgar... ese calificativo de vulgar no se aplica a su persona (no es un insulto) sino a la manipulación que hizo, la cual es claro que fue una manipulación, es cambiar lo que yo dije y decir que dije otra cosa... es evidentemente manipular.
En su comentario 111 dice que tomé la parte por el todo.
Si yo digo que vi un bisonte en norteamérica ("el todo") y tú dices que no, que no lo vi en norteamérica, que lo vi en Texas (que es un estado de norteamérica) entonces te diré con razón que ¿acaso Texas no es norteamérica?
Un usuario puede ser injusto, atacarme, decir que insulto, ponerme negativos... pero estoy en mi derecho de defenderme. ¿O no lo estoy?
Un saludo
Tanto si estamos en R como en C, ese conjunto tiene un elemento, por lo tanto la ecuación x2=0 solamente tiene una solución.
Otra cosa es que en álgebra se hable de "soluciones múltiples", o se hable de que una solución está "dos veces" y cosas así, pero con la teoría de conjuntos estándar un conjunto no puede tener un elemento "dos veces". Si quieres hacer eso tienes que usar una cosa llamada multiconjunto:
es.wikipedia.org/wiki/Multiconjunto
pero esos no son los conjuntos normales, de los que uno habla cuando habla de conjuntos y no dice nada más.
Cuando vi tu comentario #71 estaba seguro de que alguien respondería, y estaba casi seguro de que alguien respondería citando el teorema fundamental del álgebra.
Lo que decías en #71 solamente es verdad si usas números complejos. La persona a la que estábamos respondiendo probablemente no le interesen los números complejos.
Que conste que soy un gran fan de explicar las cosas simplificándolas al máximo para que se entiendan al principio, como estrategia pedagógica, pero siempre y cuando se diga la verdad y toda la verdad una vez que el concepto se ha entendido. Con el comentario que pusiste en #71 y sin dar explicaciones adicionales, no estaríamos explicando bien las cosas.
Por cierto en que ayuda el teorema de pitágoras para saber la altura de un poste ¿donde estan mis catetos?
Es como decir que una variable siempre es aleatoria porque dentro de la rama de probabilidad se habla de variables aleatorias. No, ¿verdad? Pues esto lo mismo, x^2=0 tiene solo una solución porque se está entendiendo "solución" como término matemático no algebraico. El que suele entender la mayoría de los mortales, por cierto.
Por cierto, no me contestes (o hazlo si quieres, pero te voy a ignorar), porque no hablo con gente que insulta. Es lamentable.