Y estalló la polémica . Hace unos días, en Twitter se vieron una agria discusión matemática en la que dos bandos «luchaban» por una victoria que les llevara a la cima del mundo del análisis [...] Sí, amigos, efectivamente ésa es la razón por la cual la temperatura matemática llegó a niveles nunca vistos en las redes sociales. En concreto, la cuestión que desató el conflicto puede resumirse en la siguiente pregunta: ¿Es la función f(x)=1/x continua? [...] Respuesta corta: sí, es continua
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etiquetas: 1/x , continuidad , análisis , dominio , límites 
Lo mismo en esta funcion, que en el lugar donde no seria continua X=0 la funcion no existe, esta fuera de su dominio, con lo cual la pregunta carece de sentido
Te hablo a nivel de bachiller, puesto que no soy matemática.
La continuidad o discontinuidad es una propiedad de una función y por lo tanto, preguntas por ella ahí donde existe y está definida, es decir en su dominio.
En esa función, el cero está fuera de su dominio si hablamos de función en la recta real. No tiene sentido dividir por cero en el universo de números reales, por lo que si te lo planteas... debes cambiar de universo.
Es como plantearse la continuidad de una raíz cuadrada de un número negativo en la recta real. No existe la función ahí, así que... ¿Qué sentido tiene caracterizarla y preguntarse por sus propiedades?
Al menos así nos lo enseñaron en la ESO, que si no levantas el lápiz, es continua.
Bueno, si lo levantas para ir al servicio y luego sigues donde estaba, no cuenta.
En un número +n y -n son dos puntos diferentes y simétricos respecto del eje y.
El p* infinito es como una niebla que confunde.
En límites, recuerdo que había un teorema que transforma todo el infinito en un punto, como si envolvieras una pelota con un papel haciendo que los bordes (el infinito) coincidieran en el polo Norte (o el sur, o el que quieras).
El infinito negativo y el infinito positivo, ambos son infinito a secas.
Es el problema de enseñarnos matemáticas a medias, que tendemos a recordar sólo la receta y nos olvidamos de detalles importantes.
Si la función en un punto no existe, por definición de "no existe en ese punto" significa que no es continua en |R. Sé perfectamente que una función puede estar definida para todo |R y eso no significa que sea continua. Pero a mi entender, el que no esté definida en todo |R significa, precisamente, que no es continua.
1 AND 0 = 0
1 AND 1 = 1
Pues AND es una función discreta que toma dos argumentos y devuelve uno.
La respuesta es SI.
Osea, que si el agujerito de x^2/x lo salvamos con un puntito por encima, ya si podemos decir que es discontinua en x=0, pero si no ponemos el puntito no tiene sentido hablar de discontinuidad en x=0??
No sé, no sé...
Todas lo son. Tanto la suya como la tuya. Pero la suya es la aceptada por la comunidad matemática. Y según esa definición no hay duda. ¿Que tú tienes otra? Muy bien, pero eso no invalida que según la definición estándar, 1/x es una función continua.
ejemplo sencillo, calcular las dimensiones de un video en base a la relación de aspecto...
Se sale de la grafica por abajo pero despues continúa por arriba.
Si "ponemos el puntito encima" (i.e: definimos f(0)=0) la función es contínua (coiciden los limites laterales con el valor de la función en el punto).
Podríamos decir que f(x)=x²/x es discontínua en 0 siempre que la definieramos con otro valor p.ej: f(0)=42.
Por cierto muchas gracias por tus explicaciones @Zurditorium cuando uno estudia mates se agradece mucho la concreción en el lenguaje y las definiciones.
1ª interpretación matemática = usando unas definiciones y una lógica se llega a una conclusión, que es la que has planteado.
2ª interpretación filosófica = una discontinuidad es una forma de definir el concepto de infinito, pero ¿realmente existe algo que es infinito o simplemente estamos intentando definir con infinito lo que no comprendemos (la propia estructura del universo)?
Si 0.9 periodo es 1 entonces no existe esa serie de infinitos 9 que hacen que al final se alcance el 1 y por tanto no existe infinito,
Si 0.0 periodo es 0 entonces ese infinito de ceros es todo lo que existe,
si 0.1 periodo no tiene un número más proximo entonces todo número está separado por un número infinito de números y por tanto cualquier número intermedio es infinito
Estas cuestiones no tienen expresión matemática porque se dicen absurdas ya que la matemática actual no puede expresarlas. Siguiendo por este camino intelectual nos llegamos a preguntar si realmente la matemática existe (si existen los números) y por extensión si existe la propia realidad.
No poder responderlas nos llevaría a la conclusión de que somos una simulación. Y las matemáticas es la herramienta intelectual que nos hace darnos cuenta de ello.
Una función no puede "volver al punto de partida". Una función no puede tener más de un valor de "y" para algún valor de "x".
Sí es riguroso, no hay que especificar ningún intervalo, las funciones sólo pueden ser continuas o discontinuas en puntos de su dominio. Decimos que una función es continua si lo es en todos los puntos de su dominio. La función f(x)=1/x es continua, no hace falta indicar explícitamente que en x=0 no lo es, ya que la propia definición de función excluye al 0
La función f(x)=1/x no es continua en R, aunque sí es continua en su dominio, en R~{0}.
Pero es que no tiene sentido hablar de continuidad en un punto en el que la función no está definida. La expresión "continua en R" en realidad no tiene sentido, de la misma forma que no tendría sentido preguntarnos si es continua en "zapato", pero sobreentendemos que lo que queremos decir es "continua en el subconjunto de su dominio que está dentro de R"
Si no estás diciendo eso, es lo que parece.
Te repito la pregunta: si no es continua la función, ¿en qué punto de su dominio no lo es? No confundas un punto con un límite
f(x) = -1 si x<0 y f(x)=1 si x>=0
esta función tiene una discontinuidad en 0 pero no tiene un "salto infinito en 0" (o lo que yo he interpretado que quieres decir con eso)
Olvídate de la idea de que una función continua es la que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, porque esa definción es mentira. Todo número real x en el dominio de la función f(x)=1/x tiene límite por la izquierda y por la derecha, y coincide con el valor de la función en ese punto
Entre dos números reales siempre hay otro número real. El supuesto número real que mencionas, que no es tal, podría representarse, para entendernos, con un 0.(un cero con el símbolo de periódico puro)1. Pues bien, eso no lo verás en ningún sitio porque eso no es un número real, de hecho esa notación ni siquiera existe, el símbolo de periódico siempre coge al último (o últimos) dígitos de la expresión. De hecho, el número real que se denota como 1.9999... es exactamente el mismo número que denotamos como 2, no es "el número más pegado al 2 por la izquierda", ni el "valor límite antes de llegar al 2"
(-infinito,0)U(0,+infinito) si lo quieres ver de una manera un poco más oficial sin entrar a buscar símbolos raros en el mapa de caracteres.
La notación de número periódico no la estaba usando para describir ningún intervalo, sino para explicarte que el número -0.0000(infinitos ceros)1 no existe.
Y claro que ya sé que el límite que mencionabas no incluye al 0, lo que intento explicarte es que un límite no es un punto, y los números reales que has mencionado no son tales.
El de la izquierda, cuando se acerca a cero, tiende a menos infinito, mientras que en el otro lado es a más infinito. Hay un salto. No es continua.
Si tú dices "es que en este tramo lo es, y en aquel también lo es" sí, claro, en esos subtramos lo es, pero para pasar de un tramo a otro das un salto, ergo no lo es.
Y dale. Te empeñas en usar la definición de continuidad basado en la idea de que una función no es continua si no puede dibujarse su gráfica sin levantar el lápiz del papel, y no es así. No importa que haya que "dar un salto" para pasar de los tramos a la izquierda y a la derecha del 0, la función es continua igualmente, la definición de "función continua" no es la que te inventes tú, sino la que se inventaron los matemáticos y utilizan desde hace siglos. En todos los puntos del dominio de la función, el límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha y con el valor de la función en el punto. Repito: ese requisito se cumple para todos los puntos en el dominio de la función, por tanto, la función es continua
Has hablado de "saltos", ni los números ni las funciones "saltan", eso es porque te está liando la idea de que la gráfica tiene que ser "continua" para que la función sea continua (aunque las gráficas tampoco "saltan", pero ahí sí es más normal expresarse en esos términos). En cualquier caso, da igual que lo pienses en términos de la gráfica o en límites, yo te lo estoy explicando en términos de límites, y no haces más que insistir en que el límite a la izquierda y a la derecha del cero no coinciden y por eso no es continua, pero es que eso te lo estás de la manga, esos límites no tienen que coincidir para que la función sea continua, porque el 0 no pertenece a su dominio
Te vuelvo a hacer la pregunta: ¿en qué punto del dominio de f(x) es discontinua? Si finalmente entiendes qué es un número real, tu respuesta deberá ser "en ninguno". Si tu respuesta vuelve a ser que es discontinua en los puntos -0,000(infinitos ceros)001 y +0,000(infinitos ceros)0001, entonces me centraré en explicarte de nuevo por qué esos no son números reales ni, mucho menos, pertenecen al dominio de f; pero mientras no me confirmes que has entendido este paso previo, no tiene sentido que vaya al siguiente o que me vuelvas a insistir en que hay un "salto" y que por eso no es continua
No es ningún "atrevimiento", me baso en lo que has dicho, si me dices que una lámpara es un recipiente para almacenar pelotas de tenis, pues me atreveré a decir que no sabes lo que es una lámpara
Sí, y yo ya te he explicado que estás equivocado
Sigues interpretando lo que te apetece
En Matemáticas hay poco lugar a la interpretación, por no decir ninguno; una función es continua o no es continua. La función f(x)=1/x es continua y tú dices que no, no hay lugar a la malinterpretación, simplemente estás equivocado
Nada, a tu bola.
Y tú a la tuya, o no quieres reconocer que te has equivocado o no tienes interés en aprender y entender por qué estás equivocado, en cualquier caso ahora sí que lo dejo
Por otra parte, la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto" es desafortunada, cuando no errónea. El concepto de "función discontinua en un punto" creo que es formal, al igual que "función continua en un punto", al menos veo la definición en la Wikipedia y en multitud de páginas. La función f(x)=ln(x) no es discontinua en x=0, ni tampoco continua, ya que ese punto no pertenece al dominio de la función.
Yo no estoy diciendo eso, "discontinuidad" y "no continuidad", efectivamente, no son lo mismo. "Discontinuidad" de la función en un punto implica que el punto pertenece al dominio de la función, "no continuidad" no implica que el punto pertenezca al dominio
- La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.
Estamos de acuerdo en esto. Añado aquí que la discontinuidad de una función también tiene sentido solamente en puntos del dominio.
- ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?
No
¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas?
¿Tiene que ver con qué? Yo lo que quiero decir es que nadie va a dudar de que f(x)=ln(x) es continua, por lo que no veo qué aporta ese ejemplo didácticamente. Tú mismo has dicho que lo que está liando a la gente es que ven que la gráfica de f(x)=1/x no puede escribirse sin levantar el lápiz del papel, mientras que f(x)=ln(x) sí se puede.
Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?
Claro. Por eso digo que no le veo sentido a la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". f(x)=ln(x) no es discontinua en ningún punto, y la afirmación que haces es falsa, según la definición de función discontinua en un punto. Es decir, "discontinuidad en un punto=>no continuidad en ese punto", mientras que "no continuidad en un punto/=>discontinuidad en el punto"
En el Mardsen-Tromba, claramente dicen que el punto tiene que pertenecer al dominio para que sea discontinua en él. Y esta definición la verdad es que es la que me parece más adecuada e intuititiva, por analogía con la de función continua. Sin embargo, está claro que no es la única, de hecho esa definición se carga el concepto de "discontinuidad evitable" que se ve en muchos sitios y que incluyen puntos fuera del dominio. Las otras fuentes que he consultado son el Spivak, que tampoco aclara nada, y los apuntes de 1º y 2º de carrera, donde mencionan las discontinuidades evitables, de primera especie y de segunda especie; pero omiten la definición de "función discontinua en un punto".
La clasificación más completa que he visto está en la Wikipedia (y, aún así, define función continua y, como casi siempre, omite la definición de función discontinua). Distingue entre discontinuidad evitable y esencial y, dentro de esta última, de primera especie y de segunda especie. La novedad que veo aquí con respecto a los libros que tengo es que, en la de primera especie, distingue entre de salto finito, de salto infinito y asintótica.
es.wikipedia.org/wiki/Clasificación_de_discontinuidades
De la definición que das de "discontinuidad" después de recopilar varias fuentes, yo diría que sobra, al menos, la condición del punto de acumulación. En ese caso, yo no diría que es discontinua. Por otra parte, creo que es innecesario, por redundante, introducir conceptos topológicos para explicar las continuidades o discontinuidades en R, sobre todo teniendo en cuenta que muchos de los que participan en este tipo de hilos no son matemáticos.
En cualquier caso, aún con "tu" definición de función discontinua en un punto, no entiendo que digas "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". Si es discontinua en el punto, no puede ser continua en ese mismo punto. Si no ha sido una equivocación (¿quizás querías decir que la función es continua aunque tenga una discontinuidad en un punto?), entonces la definición que manejas de función discontinua en un punto es desacertada.
Con respecto al ejemplo de f(x)=ln(x), sigo sin ver cómo puede aclararles nada a los que creen que f(x)=1/x no es continua. En la primera, el punto x=0 está fuera del dominio y deja la gráfica a su derecha, igual que el punto x=-3, por ejemplo. Este caso no debería plantear dudas a nadie, pero es que tampoco veo que ayude a los que dicen que f(x)=1/x no es continua, ya que en este segundo caso, el punto fuera del dominio está en la "mitad" de la gráfica, por lo que sí ven un salto. En el artículo mencionas que también deberían ver un salto en f(x)=ln(x), pero no sé a qué salto te refieres, claramente puede dibujarse esta gráfica sin levantar el lápiz del papel (en el artículo pareces insinuar que no, no sé por qué). Sí, podría debatirse si hay una discontinuidad de salto en x=0 para ln(x), pero ese no es el tipo de "salto" que la gente ve en f(x)=1/x y que les hace creer que no es continua. Por tu último comentario, entiendo que el debate en f(x)=ln(x) está en la existencia, o no, de una discontinuidad de salto infinito, pero ese es otro tema, entiendo que más semántico que otra cosa. En cualquier caso, si me dices que el ejemplo de f(x)=ln(x) le ha ayudado a alguien a entender la continuidad de f(x)=1/x, entonces te creo
Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto". Y no lo veo igual porque, precisamente para las de salto infinito, una función puede tener una discontinuidad de ese tipo pero no ser ni continua ni no continua en él porque, al no pertenecer al dominio, no tiene sentido plantearse la continuidad.
Ésa es la explicación, por segunda vez, de la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". En esos puntos, la función no es ni continua ni no continua, pero sí presenta una discontinuidad de salto infinito. Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.
Sobre el tema de f(x)=ln(x), creo que lo he dejado clarísimo en el comentario anterior. Te lo copio de nuevo:
"Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene."
Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.
Espero que ya sí haya quedado claro y que no le sigamos dando vueltas a lo mismo. Un saludo.
Yo sí la he visto, al menos, como ya dije, en el Marsden-Tromba. En ese caso, además, se mojan también definiendo "función discontinua", a secas, como aquella función que es discontinua en algún punto de su dominio. Y ya digo que es la definición que me parece más lógica, aunque esto es opinable, claro
Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.
Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto"
Yo también repito
Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.
Eso si consideras que puede haber discontinuidades fuera del dominio de la función. Pero, en cualquier caso, yo me refería a que no es necesario siquiera introducir el concepto de "punto de acumulación"; los conceptos de número real, límite, función continua y discontinuidad deberían ser suficientes.
Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.
Yo creo, y al menos aquí en Menéame es lo que se ve, que la dificultad para entender la continuidad de 1/x está en que la gráfica de la función son 2 líneas separadas, hablando en plata, mientras que la de ln(x) es una única línea, por lo que esta última sí puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. En el artículo dices "se ve un salto que choca un poco con la noción intuitiva de continuidad que muchos tenemos: lo de que una función es continua si la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel". Yo no veo ese salto por ningún lado ni veo por qué choca con la noción de dibujar sin levantar el lápiz del papel. Entiendo que por "salto" te refieras a la discontinuidad de salto, pero eso no tiene nada que ver con el "salto" en la gráfica que hay en 1/x y que entiendo que es la que produce la confusión, al menos a la mayoría de la gente. Parece que te haya molestado que "critique" el ejemplo, y no veo por qué, ya dije que te creo si me dices que el ejemplo le ha ayudado a alguien
Y volvemos a "la frase". Estás leyéndola con "tu "idea sobre función continua, discontinuidad, etc, y yo la escribí con "mi" idea sobre funcion continua, discontinudad, etc. Así que sí, la frase es exactamente como la redacté por primera vez, y tiene todo el sentido (aunque tú, por mucho que he intentado explicarlo, no se lo encuentres).
Creo que la conversación ha llegado a un punto muerto. Ha sido interesante para mí conversar sobre este tema.
Un saludo.
Concretamente, dice lo siguiente:
"Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua".
Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada. Ejemplo: f(x)=1/x. Tiene una discontinuidad en x=0, pero en ese punto no es ni continua ni no continua, simplemente "no es".
Tú vuelves a interpretar mi frase con "tu" visión de la continuidad, no con la mía.
Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.
Un saludo.
Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":
"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."
Y eso es correcto solamente cuando existe f(a). Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'. Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo). Por eso digo que la frase en negrita no es necesariamente cierta (sólo lo es en algunos casos).
Si en mi frase
"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"
cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.
"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."
Tu frase no dice eso!!
estoy convencido de que no vas a entender (o "querer entender", ya no sé qué pensar) lo que quiero decir.
Aunque hace ya unos cuantos comentarios que empecé a pensar que igual estaba perdiendo el tiempo, he intentado en unas cuantas ocasiones que comprendas lo que quería decir, pero sigues empeñado en decir que "mi frase" lleva a pensar que f puede ser continua. Y no, eso es falso, ya que lo contrario de "no continua" no es "continua", sino que es "continua o nada" (porque hay 3 posibilidades, no dos, como parece que te sigues empeñando en afirmar). Pero bueno, después de la de veces que he intentado que lo veas no sé ni para qué intento aclarártelo otra vez.
Si nuestra conversación va a seguir dando vueltas como hasta ahora, por mí se ha terminado. Sea como sea, ha tenido su interés.
Un saludo.
Gracias por la conversación. Un saludo.
Jaque mate.
Ahora el concepto que representa nos dice muuuuchas cosas. Cosas que es muy útil saber, como que entre mayor valor le demos a X el resultado será menor pero nunca llegará a cero....
Aunque @zurditorium y algunas personas más han explicado bastante bien el asunto a quienes han mostrados sus dudas y preguntas en los comentarios, voy a intentar explicar lo que yo creo que son los puntos que generan problemas a la hora de entender este tema.
Los dos puntos más importantes, de los cuales hablo en mi artículo y que además están íntimamente relacionados, creo que son los siguientes:
1. Pensamos que la definición de continuidad de una función en un intervalo real es que pueda dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
2. Pensamos que la palabra 'discontinuidad' es, automáticamente, 'no continuidad'.
Sobre la 2, entiendo que puede llevar a error, y posiblemente sería mejor usar otro término para los casos en los que el punto a estudiar no está en el dominio (y, por tanto, el estudio de la continuidad no procede). Una buena palabra podría ser "singularidad".
Sobre la 1, es evidente que el instituto tiene buena "culpa" de ello, aunque no creo que sea del todo desacertado. No es, ni mucho menos, el único caso en el que, en los comienzos del estudio de un concepto matemático, se usan "aproximaciones", "ideas intuitivas" o, directamente, pequeñas "mentiras" que se deben avisar en el momento y aclarar con el paso del tiempo.
Por otra parte, también la utilización de las palabras en nuestro lenguaje natural pueden llevarnos a error. No podemos pretender que lo que "nosotros" entendemos como "continuo" en nuestro día a día sea exactamente lo que dice la definición matemática en ese caso (o lo que debería decir). Las definiciones matemáticas son las que son, no las que nosotros queremos que sean. En este caso, a nivel superior la cuestión es topológica, y @zurditorium lo ha comentado en #2.
Por cierto, esto de que nuestro lenguaje habitual no coincide exactamente con el significado matemático pasa en más ocasiones, evidentemente (y esto seguro que también en otras áreas de conocimiento). Por poner un ejemplo simple: el "o" del lenguaje natural es una "disyunción exclusiva" (una de las opciones o la otra, pero no las dos), pero el "o" de las matemáticas es una "disyunción no exclusiva" (una de las opciones, la otra O LAS DOS). Y os aseguro que esto también provoca problemas de comprensión en algunas ocasiones (conjuntos, lógica, probabilidad...). Otro ejemplo que se me ocurre es el término "abierto". Y seguro que a vosotros se os ocurren muchos más, tanto en matemáticas como en otros campos.
Espero haber contribuido a aclarar un poco más esta cuestión.
- La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.
- ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?
¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas? Más claro:
Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?
- Función no continua en un punto: el punto pertenece al dominio, pero la función no es continua en él.
- Función discontinua en un punto: no lo uso para no inducir al error (aunque en el caso de usarlo lo haría como sinónimo de "no continua").
- Función que presenta una discontinuidad en un punto: aquí meto los casos en los que la función es no continua en el punto y el caso en el que es un punto de acumulación que no pertenece al dominio y tiene sentido plantearse el cálculo de ambos límites laterales. En este último caso, si alguno de los límites laterales diverge, se tiene que la función presenta una discontinuidad en ese punto.
Repito que esto es lo que yo he sacado en claro como lo más adecuado, recomendable y/o descriptivo de todo lo que sé y de todo lo que he leído.
Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene.
Por otra parte, ya que has hablado de la bibliografía que tienes de cálculo me gustaría que comentaras qué libros son y qué es lo que dicen sobre este tema.
Gracias por todo el contenido que nos ofreces, pero creo que las formas te fallan.
Pero en serio, esto es como los grammar nazis, pero en matemática. Y no creo que tenga razón, porque si tenemos una función adonde de un salto en punto x, se puede definir perfectamente como "continua" con la definición que da este blog si utilizamos la anotación de limites y decimos que ese es su dominio. O sea, que discusión grammar nazi total y en vez de tener a un grammar nazi que parece no querer creer que ciertas palabras puedan tener mas de un sentido o que evolucione su uso aunque, pues tenemos lo mismo en la matemática adonde este blogger en particular considera anormal que se considere otros dominios excepto el que el considera por defecto. La respuesta verdaderamente correcta seria siempre especificar los dominios reales de las funciones y dejarte de chorradas, y ya vemos si es continua o no, y si no quieres, pues que no te extrañe que vaya al diccionario metafórico y te saque otra definición a lo que tu grammar nazismo no aplica.
f(x) = 1/x; x ∈ (-inf,0) ;
f(x) = 1/(x-1); x ∈ (1,inf)
Esa función tiene el mismo salto que f(x) = 1/x, pero no a ambos lados de 0 sino a ambos lados del intervalo [0,1]. El límite cuando x ->0 por la izquierda es -inf, pero ¿cuál es el límite cuando x -> 0 por la derecha? La función no está definida, no es parte de su dominio, por lo tanto no tiene sentido hablar de ello. La función es continua en (-inf,0), es continua en (1,inf), pero, ¿y en [0,1]? ¿Es continua, es discontinua o simplemente no existe en x = 0.5? Yo creo que se ve claramente que en ese intervalo simplemente no existe y no cabe hablar de su continuidad. Como es continua en todos los intervalos donde existe, debe de ser continua. Si ahora encoges ese intervalo donde no existe hasta que sea solo un punto, {0}, pero sigue existiendo como un valor donde la función no está definida (no es su dominio), de igual forma no cabe hablar de su continuidad en ese punto. Aunque intuitivamente puedas llegar a pensar otra cosa.
Tienes un contraejemplo en el propio artículo: f(x)=ln(x) que no está definida para x≤0 pero es continua.
Estoy seguro de que se puede expresar mejor esto.
De por sí no vale para nada, y sus discusiones tampoco.
Pero seguro que muchísima gente se ha conocido gracias a "Juego de Tronos", incluso es posible que gente que se haya conocido hayan tenido algún hijo... así que "Juego de Tronos" ha podido servir para que la gente tenga hijos...
El interés de la discusión... pues como "Juego de Tronos"... para los que les guste, les resulta lo más de interesante.
PD: Y sobre las matemáticas se apoyan multitud de ingenierías y ciencias... e influyen tanto en el correcto uso de dispositivos electrónicos que te mantienen conectado a internet... puentes para cruzar ríos... aviones para transportarte, etc.
Me invento una gráfica continua, tipo 1/x sin atender a la función pero si a dibujarla con el lápiz. Y tiendo a dibujarla continuamente hasta que me case (al infinito). La pregunta es que le ponga la función o expresión matemática. Posiblemente, sea 1/x y además es continua. Si no se corresponde a esa expresión habría que definir o inventarse otra función que no existe en las matemáticas actuales.
Y sobre la noticia. En el momento que definas un punto y así hasta que te canses (tendencia hacia el infinito y no el infinito) puedes determinar y decir sí a que la función es continua (siempre que lo sea).
Mejor parecer tonto 2 minutos por hacer una pregunta , que ir de listo como tú y ser en realidad gilipollas.
En cálculo, las "cosas" son funciones, y resulta que f(x)=1/x es una función elemental con propiedades interesantes.
Al comprender las propiedades de esta función (y otras funciones elementales), se comprenden toda una familia de funciones que modelan el comportamiento de fenómenos naturales de todo tipo (físicos, químicos, sociales, etc...).
Por este motivo las matemáticas son las ciencias más fundamentales, todas las demás se apoyan en ellas.
P.D. Está bien preguntar lo que no se sabe, así se aprende. El tonto es el que no pregunta y se queda sin aprender.
Yo soy historiador, sabes tú la fecha de la batalla de Lepanto ? En qué fecha murió Henry VIII ? El imperio de Carlo Magno ? No? No sabes todo eso? Pues entonces no estás capacitado q hablar de economía ... Tiene sentido ? Pues tu comentario tampoco.
Yo solo preguntaba que usos prácticos se le puede dar a las derivadas . El mundo sería mejo si más gente preguntase y no hubiese tantos enterados que encima lee molesta que la gente tenga dudas, preguntar e interés por aprender.
No de puede saber de todo en esta vida.
No son conocimientos importantes , asi que no te preocupes por no saberlo , porque hay cosas más importantes a las que dedicar el tiempo que si merecen la pena.
Aprender historia es como estudiar la historia del cine, si te apasiona el tema , genial. Si no , para que lo vas a estudiar ? Te tiene quw gustar mucho este mundo para memorizar 1000000 fechas , batallitas , nombres , generales , etc etc.
Vuelvo a preguntar, son las funciones tan importantes?
Un ejemplo sobre la utilidad de esta cosa.
Para que sirve f(x)=1/x. , Sé que representan líneas y puntos en una gráfica , pero como se aplica eso a la informática en un móvil o tableta ????