La función f(x)=1/x y una discusión continua

Y estalló la polémica . Hace unos días, en Twitter se vieron una agria discusión matemática en la que dos bandos «luchaban» por una victoria que les llevara a la cima del mundo del análisis [...] Sí, amigos, efectivamente ésa es la razón por la cual la temperatura matemática llegó a niveles nunca vistos en las redes sociales. En concreto, la cuestión que desató el conflicto puede resumirse en la siguiente pregunta: ¿Es la función f(x)=1/x continua? [...] Respuesta corta: sí, es continua

[#101 santiso]

#2 #27 entiendo que, según esa regla, funciones como la tangente son continuas también?

[#102 grigori]

#65 Según he hecho siempre, no es riguroso decir que es continua si no se indica en qué intervalo.

Sí es riguroso, no hay que especificar ningún intervalo, las funciones sólo pueden ser continuas o discontinuas en puntos de su dominio. Decimos que una función es continua si lo es en todos los puntos de su dominio. La función f(x)=1/x es continua, no hace falta indicar explícitamente que en x=0 no lo es, ya que la propia definición de función excluye al 0

La función f(x)=1/x no es continua en R, aunque sí es continua en su dominio, en R~{0}.

Pero es que no tiene sentido hablar de continuidad en un punto en el que la función no está definida. La expresión "continua en R" en realidad no tiene sentido, de la misma forma que no tendría sentido preguntarnos si es continua en "zapato", pero sobreentendemos que lo que queremos decir es "continua en el subconjunto de su dominio que está dentro de R"

[#103 vvega]

#4 No se le quitan, en realidad no los tiene desde el principio. Piensa en la función f(x) = |1/x|, que es parecida a la del enunciado pero tendiendo a +infinito por ambos lados. ¿Es continua en {0}? Pudiera parecerlo, pero tampoco, porque es que en 0 no existe, ni es continua, ni es discontinua, simplemente no es. Es continua en los sitios donde existe, por lo tanto es continua. ¿Es continua la función real f(x) = sqrt(x)? Sí. ¿Es continua en -2? Pues no, en -2 no existe, así que no es continua ni descontinua.

[#104 Tensk]

#103 Igual me equivoco pero yo entiendo que es continua si los límites en los puntos van coincidiendo y además coinciden con el valor de la función en el punto. Eso significa que tendría que estar definida en todo R.

Bien, entramos entonces en el caso de que si no está definida ahí no cuenta. En ese caso tendrían que al menos coincidir los límites, y tampoco. Si le aplicas el valor absoluto sí, pero la del enunciado no.

[#105 Fernando_x]

#4 No, simplemente no se evalúa la continuidad en puntos que no forman ni nunca han formado parte de la función. No se quitan, nunca han estado. Lo que esta función tiene en el 0 yo siempre lo he llamado una asíntota vertical, nunca una discontinuidad.

[#106 jmav]

#96 Es que no estoy diciendo eso. Estoy diciendo, que todas las funciones existen puntos de la no existencia. Estoy diciendo que tendría que retornar de forma circular. Si la función que citas del libro, te dice que hay un punto en el que no existe, y lo demás todo es continuo (hacer un trazo continuo con el lápiz sin interrumpirlo) la función debe de ser continua.

Y sobre la noticia. En el momento que definas un punto y así hasta que te canses (tendencia hacia el infinito y no el infinito) puedes determinar y decir sí a que la función es continua (siempre que lo sea).

[#107 Tensk]

#105 Pueden ser ambas cosas.

[#108 AsVHEn]

#106 Un circulo no es una función te estoy diciendo.
Si no estás diciendo eso, es lo que parece.

[#109 --692998--]

La respuesta correcta es 1/0.

Pero en serio, esto es como los grammar nazis, pero en matemática. Y no creo que tenga razón, porque si tenemos una función adonde de un salto en punto x, se puede definir perfectamente como "continua" con la definición que da este blog si utilizamos la anotación de limites y decimos que ese es su dominio. O sea, que discusión grammar nazi total y en vez de tener a un grammar nazi que parece no querer creer que ciertas palabras puedan tener mas de un sentido o que evolucione su uso aunque, pues tenemos lo mismo en la matemática adonde este blogger en particular considera anormal que se considere otros dominios excepto el que el considera por defecto. La respuesta verdaderamente correcta seria siempre especificar los dominios reales de las funciones y dejarte de chorradas, y ya vemos si es continua o no, y si no quieres, pues que no te extrañe que vaya al diccionario metafórico y te saque otra definición a lo que tu grammar nazismo no aplica.

[#110 vvega]

#104 Pero es que aun que coincidan los límites, no tiene sentido hablar de continuidad de algo en un sitio que no existe. Piensa en la raíz cuadrada para números negativos (como función real, el análisis complejo es, como su nombre indica, más complejo), en esos puntos no existe por lo tanto no podemos hablar de si es continua o no. O la función:
f(x) = 1/x; x ∈ (-inf,0) ;
f(x) = 1/(x-1); x ∈ (1,inf)
Esa función tiene el mismo salto que f(x) = 1/x, pero no a ambos lados de 0 sino a ambos lados del intervalo [0,1]. El límite cuando x ->0 por la izquierda es -inf, pero ¿cuál es el límite cuando x -> 0 por la derecha? La función no está definida, no es parte de su dominio, por lo tanto no tiene sentido hablar de ello. La función es continua en (-inf,0), es continua en (1,inf), pero, ¿y en [0,1]? ¿Es continua, es discontinua o simplemente no existe en x = 0.5? Yo creo que se ve claramente que en ese intervalo simplemente no existe y no cabe hablar de su continuidad. Como es continua en todos los intervalos donde existe, debe de ser continua. Si ahora encoges ese intervalo donde no existe hasta que sea solo un punto, {0}, pero sigue existiendo como un valor donde la función no está definida (no es su dominio), de igual forma no cabe hablar de su continuidad en ese punto. Aunque intuitivamente puedas llegar a pensar otra cosa.

[#111 grigori]

#31 Tú mismo me estás dando la razón: "ERGO 1/x es continua en todo su dominio", claro, cuando especificas el dominio entonces sí, pero la función, como tal, no lo es.

La función f(x)=1/x sí es continua, lo de "en todo su dominio" es redundante. Por otra parte, preguntarse si la función es continua en un punto que no pertenece a su dominio no tiene sentido, es como preguntarse si el color verde es ancho o estrecho. De la misma forma, preguntarse si "f(x)=1/x es continua en R", que es lo que os está liando a muchos, es hacerse una pregunta que no tiene sentido y que ni siquiera está en discusión, ya que lo que se discute es si la función f(x)=1/x es continua o no, y sí lo es.

[#112 --692998--]

#110 Yo creo que el problema raíz es que la matemática no reconoce que todo valor tiene un valor aparte del de su dominio, y es el "indefinido". El 0 nació a raíz de ser de denominar y poder tratar un valor anteriormente indefinido del que no se podía tratar en los números naturales, los números negativos igual (le tachamos un - y ala), lo mismo ocurrió con los números racionales y irracionales (división, y si no basta, puntito), después con los números imaginarios (lo dejamos apartado con i y como maravilla), pero vete tu a decirte que el resultado de una función puede ser indefinida (i.e. ¿Esta lloviendo en x, x siendo un lugar que tu no puedes conocer o consultar?) y te mandan a la mierda, con el gato de Schrödinger mirando y todo. El indefinido es básicamente una llamada a "necesitamos mas información, y a lo mejor ni con eso basta, así que para de mandarnos mierda".

[#113 Ashark]

#15 Por ejemplo y siguiendo lo que pone #29, en las prácticas de FP me tocó diseñar y construir un reloj digital y un frecuencímetro exclusivamente con puertas NAND. Sí, es como encaje de bolillos o un jersey de punto (pero con una base matemática), pero así es como funciona una CPU o cualquier chip.

[#114 Tensk]

#111 #110 Lo que se está diciendo que es continua es "en cada uno de sus tramos definidos lo es". Pero sin embargo cuando juntamos los tramos en los que está definida la función, en el caso que nos ocupa todo R estrictamente negativo y todo R estrictamente positivo, es decir, dos subtramos de R dividos por y sin contar con el cero, si "empalmas" un tramo con otro, hay un salto. En concreto de -infinito a +infinito.

Si hay un salto, incluso con la definción de "dentro del dominio", no es continua.

[#115 MoñecoTeDrapo]

#15 la representación gráfica de una función no es la función. La función es una aplicación que atribuye a cada número x un número y o f(x). En este caso, atribuye a cada número (x) su inverso (y= 1/x). La representación gráfica nos ayuda a interpretarla, a ver sus características principales.

[#116 Mariele]

"es continua si te la sudan las pelotas" dijo un genio en Twitter

[#117 MoñecoTeDrapo]

#20 "Pero a mi entender, el que no esté definida en todo |R significa, precisamente, que no es continua."
Tienes un contraejemplo en el propio artículo: f(x)=ln(x) que no está definida para x≤0 pero es continua.

[#118 siguaraya]

#2 Gracias, no puedo votar positivo, pero está muy bien explicado. Y eso que desde que acabé la carrera, las mates y yo nos divorciamos...pero fue de mútuo acuerdo

[#119 Tensk]

#117 Sí, ya lo vi ayer, voy a ser más específico: Empieza en -infinito y acaba en +infinito, tiene una excepción en un punto. No es que sólo se defina para positivos o sólo para negativos. Pero vamos, aún así, si me apuras...

[#120 insulabarataria]

#3 viendo esta pregunta ahora entiendo la razón de muchas de las otras paridas que dices.

[#121 grigori]

#114 Sí es continua. Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio. Probablemente lo veas más fácil si lo razonas de esta manera: ya que crees que no es continua, ¿en cuál de los puntos de su dominio no es continua? Ya sabes que en el 0 no es discontinua, ya que no pertenece a su domino, y en cualquier punto a la derecha del 0 es continua, y lo mismo con cualquier punto a su izquierda. Supongo que lo que piensas es: es discontinua en el punto que está a la izquierda del 0 y lo más pegado posible al 0, y en el punto que está a la derecha del 0 lo más pegado posible al 0, pero es que esos puntos no existen, entre dos números reales cualesquiera siempre hay otro número real. Es decir, para cualquier punto de la función existe un límite por la derecha y por la izquierda y ambos coinciden con el valor de la función en ese punto, por lo tanto, la función es continua (en todo su dominio)

[#122 MoñecoTeDrapo]

#119 al final, esto para los matemáticos es como los gatos, son sus definiciones y ellos mismos, ya sabes....

[#123 Tensk]

#121 ¿Mande? el límite en el 0, aún no estando definida ahí la función y blablabla, es por un lado -infinito y por otro +infinito. No coinciden, no es continua. A veces podrían coincidir los límites y aún así no serlo, pero si los límites no coinciden, veo harto complicado que pueda ser continua. ¿O es que da igual lo que haga en cada trozo de R en el que esté definida con respecto a los límites laterales en los extremos de cada trozo?

[#124 grigori]

#123 Lee con más atención mi comentario. Sólo tiene sentido que te plantees el límite por la izquierda y por la derecha del 0 para evaluar la continuidad en x=0, donde la función no está definida, por lo que no tiene sentido que digas que ahí no es continua.

Te repito la pregunta: si no es continua la función, ¿en qué punto de su dominio no lo es? No confundas un punto con un límite

[#125 Tensk]

#124 Si coges la misma función y la defines como valor absoluto, de manera que te queda simétrica, en ese caso el límite es idéntico en ambos lados (infinito) y podrías decir que es continua donde se define, puesto que acaba por la izquierda subiendo a infinito y empieza por la derecha bajando de infinito. Pero no hablamosd e esa función.

[#126 Tensk]

#122 Es lo que dije en, creo, mi primer comentario.

[#127 grigori]

#125 Que te resulte más fácil ver que la función f(x)=1/|x| es continua no dice nada sobre la continuidad de la función f(x)=1/x. Responde a la pregunta: ¿en qué punto (de su dominio) es discontinua f(x)=1/x?

[#128 Tensk]

#127 De -0,000(infinitos ceros)0001 a +0,000(infinitos ceros)0001 da un salto. Esos son dos puntos "contiguos" en su dominio.

[#129 elpalleiro]

#93 Nunca es conveniente generalizar a partir de ejemplos.... es muy fácil llegar a falacias. En matemáticas una función real (ie: de numeros reales en números reales f: R-->R) se puede definir de la manera que quieras (siempre que este definida de manera única para cada elemento del dominio) . p.ej:
f(x) = -1 si x<0 y f(x)=1 si x>=0
esta función tiene una discontinuidad en 0 pero no tiene un "salto infinito en 0" (o lo que yo he interpretado que quieres decir con eso)

[#130 grigori]

#128 Estás cayendo en el error que te expliqué hace 3 comentarios: -0,000(infinitos ceros)0001 no existe, entre dos números reales cualesquiera siempre hay otro número real, "el número a la izquierda del 0 que está más pegado al 0 que todos los demás a su izquierda" no existe. Y lo mismo para el intervalo a la derecha del 0.

Olvídate de la idea de que una función continua es la que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, porque esa definción es mentira. Todo número real x en el dominio de la función f(x)=1/x tiene límite por la izquierda y por la derecha, y coincide con el valor de la función en ese punto

[#131 --697332--]

#120 que tiene de malo preguntar???

Mejor parecer tonto 2 minutos por hacer una pregunta , que ir de listo como tú y ser en realidad gilipollas.

[#132 Tensk]

#130 Sí que existe, es el valor límite antes de llegar a cero. Y los límites alrededor del cero no coinciden, ergo no es continua. Pueden coincidir y no serlo, pero si no coinciden, no es continua.

[#133 Tensk]

#130 P.D. ¿estaré discutiendo con Perelman después de aprender castellano?

[#134 grigori]

#133 Bien visto, me has pillado

[#135 pichorro]

#76 es una definición arbitraria

Todas lo son. Tanto la suya como la tuya. Pero la suya es la aceptada por la comunidad matemática. Y según esa definición no hay duda. ¿Que tú tienes otra? Muy bien, pero eso no invalida que según la definición estándar, 1/x es una función continua.

[#136 grigori]

#132 No existe tal "valor límite antes de llegar a 0". Finalmente el problema está en que tienes un concepto erróneo de los números reales.

[#137 Tensk]

#136 Lo que tú digas, Perelman.

[#138 Tensk]

#135 Pega los tramos de la función donde está definida ¿es continua? no, el tramo A acaba en más-infinito, el tramo B empieza en menos-infinito.

[#139 grigori]

#137 Bueno, lo que digo yo y lo que dicen todos los matemáticos en toda la historia de las Matemáticas, aunque puede ser que los equivocados seamos nosotros y el que tengas razón seas tú

Entre dos números reales siempre hay otro número real. El supuesto número real que mencionas, que no es tal, podría representarse, para entendernos, con un 0.(un cero con el símbolo de periódico puro)1. Pues bien, eso no lo verás en ningún sitio porque eso no es un número real, de hecho esa notación ni siquiera existe, el símbolo de periódico siempre coge al último (o últimos) dígitos de la expresión. De hecho, el número real que se denota como 1.9999... es exactamente el mismo número que denotamos como 2, no es "el número más pegado al 2 por la izquierda", ni el "valor límite antes de llegar al 2"

[#140 insulabarataria]

#131 ¿preguntar para qué sirve una función, y además con ese tono? Hombre, pues es la típica pregunta que hacen los gañanes para quejarse de que "eso no vale pa ná".No está mal preguntar cosas, pero esa pregunta ya me da una idea de tu nivel y de tus "conocimientos" sobre vacunas y demás.

[#141 chavi]

#100 Claro. Igual que tú vaca puede conducir tu carro

[#142 chavi]

#15 Para nada, no sirve para nada. Solo son unas grafías que escribiste en el post.

Ahora el concepto que representa nos dice muuuuchas cosas. Cosas que es muy útil saber, como que entre mayor valor le demos a X el resultado será menor pero nunca llegará a cero....

[#143 Tensk]

#139 Sea estándar la notación o no, sabes perfectamente que me refería al límite sin incluir el cero.

(-infinito,0)U(0,+infinito) si lo quieres ver de una manera un poco más oficial sin entrar a buscar símbolos raros en el mapa de caracteres.

El de la izquierda, cuando se acerca a cero, tiende a menos infinito, mientras que en el otro lado es a más infinito. Hay un salto. No es continua.

Si tú dices "es que en este tramo lo es, y en aquel también lo es" sí, claro, en esos subtramos lo es, pero para pasar de un tramo a otro das un salto, ergo no lo es.

[#144 chavi]

#31 Hombre, es que una función solo existe en su dominio, ¿no?

[#145 Tensk]

#144 ¿Qué es existir?

[#146 pichorro]

#138 De nuevo, esa definición es tuya, pero no de la comunidad matemática. Si yo defino "piruleta" como "vehículo de cuatro ruedas y tracción a motor" podré luego afirmar que "voy a trabajar montado en una piruleta".

[#147 grigori]

#143 Sea estándar la notación o no, sabes perfectamente que me refería al límite sin incluir el cero.

(-infinito,0)U(0,+infinito) si lo quieres ver de una manera un poco más oficial sin entrar a buscar símbolos raros en el mapa de caracteres.

La notación de número periódico no la estaba usando para describir ningún intervalo, sino para explicarte que el número -0.0000(infinitos ceros)1 no existe.

Y claro que ya sé que el límite que mencionabas no incluye al 0, lo que intento explicarte es que un límite no es un punto, y los números reales que has mencionado no son tales.

El de la izquierda, cuando se acerca a cero, tiende a menos infinito, mientras que en el otro lado es a más infinito. Hay un salto. No es continua.

Si tú dices "es que en este tramo lo es, y en aquel también lo es" sí, claro, en esos subtramos lo es, pero para pasar de un tramo a otro das un salto, ergo no lo es.

Y dale. Te empeñas en usar la definición de continuidad basado en la idea de que una función no es continua si no puede dibujarse su gráfica sin levantar el lápiz del papel, y no es así. No importa que haya que "dar un salto" para pasar de los tramos a la izquierda y a la derecha del 0, la función es continua igualmente, la definición de "función continua" no es la que te inventes tú, sino la que se inventaron los matemáticos y utilizan desde hace siglos. En todos los puntos del dominio de la función, el límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha y con el valor de la función en el punto. Repito: ese requisito se cumple para todos los puntos en el dominio de la función, por tanto, la función es continua

[#148 Tensk]

#147 Ni he hablado de gráficos, estoy hablando de límites. Interprétalo como quieras, que tampoco veo por qué sería incorrecto.

Saludos a la madre Rusia.

[#149 Tensk]

#146 Lo que tú digas.

[#150 Nobby]

#23 es que está la continuidad y la "continuidad"  

[#151 DabbaDoo]

#3 En ciencias, para que sea más sencillo comprender las "cosas" que se estudian, lo primero que se hace es clasificar esas cosas en base a ciertos criterios y luego se analizan todas sus propiedades, comportamientos y cómo se combinan o interactúan unas cosas con otras.

En cálculo, las "cosas" son funciones, y resulta que f(x)=1/x es una función elemental con propiedades interesantes.
Al comprender las propiedades de esta función (y otras funciones elementales), se comprenden toda una familia de funciones que modelan el comportamiento de fenómenos naturales de todo tipo (físicos, químicos, sociales, etc...).
Por este motivo las matemáticas son las ciencias más fundamentales, todas las demás se apoyan en ellas.

P.D. Está bien preguntar lo que no se sabe, así se aprende. El tonto es el que no pregunta y se queda sin aprender.

[#152 grigori]

#148 Ni he hablado de gráficos, estoy hablando de límites. Interprétalo como quieras, que tampoco veo por qué sería incorrecto.

Has hablado de "saltos", ni los números ni las funciones "saltan", eso es porque te está liando la idea de que la gráfica tiene que ser "continua" para que la función sea continua (aunque las gráficas tampoco "saltan", pero ahí sí es más normal expresarse en esos términos). En cualquier caso, da igual que lo pienses en términos de la gráfica o en límites, yo te lo estoy explicando en términos de límites, y no haces más que insistir en que el límite a la izquierda y a la derecha del cero no coinciden y por eso no es continua, pero es que eso te lo estás de la manga, esos límites no tienen que coincidir para que la función sea continua, porque el 0 no pertenece a su dominio

[#153 Ashark]

#13 Bueno, qué se le va a hacer. puedes comprarte una camiseta al respecto
www.get-digital.es/gandalf-no-puedes-pasar.html
Seguro que da pie a conversaciones interesantes

[#154 Tensk]

#152 Por salto me refiero a una diferencia de valor entre un punto de f(x) y en el siguiente de tal manera que no haya... continuidad. Llámalo como quieras.

[#155 Tensk]

#150

[#156 grigori]

#154 Pero es que no hay número "siguiente" a un número real. Para entender qué es una función continua antes necesitas entender qué son los números reales, no tiene sentido que me vuelvas a hablar de "saltos", "límites", "continuidad" y demás cuando todavía tienes pendiente entender que el "número real" 0.000(infinitos ceros)1 no es tal número real.

[#157 Fernando_x]

#107 nope, en matemáticas las definiciones son estrictas y muy claras. No hay "puede"

[#158 --697332--]

#140 claro porque saber de funciones te hace un experto en vacunar y viceversa verdad ?

Yo soy historiador, sabes tú la fecha de la batalla de Lepanto ? En qué fecha murió Henry VIII ? El imperio de Carlo Magno ? No? No sabes todo eso? Pues entonces no estás capacitado q hablar de economía ... Tiene sentido ? Pues tu comentario tampoco.

Yo solo preguntaba que usos prácticos se le puede dar a las derivadas . El mundo sería mejo si más gente preguntase y no hubiese tantos enterados que encima lee molesta que la gente tenga dudas, preguntar e interés por aprender.

No de puede saber de todo en esta vida.

[#159 insulabarataria]

#158 imagina que yo te pregunto: ¿Y para qué vale saber la fecha de la batalla de Lepanto y porqué debería importarme el saberlo?¿Que impresión te da esa persona?Una cosa es preguntar cosas que no se saben y otra preguntar en la manera que tú has hecho.

[#160 Tensk]

#156 Sé lo que son los números reales, gracias. He escrito eso como expresión alternativa informal para un límite. Saludos.

[#161 chavi]

#145 En este contexto, que la función esté definida en ese punto. Si no está definida en ese punto es como buscar Águilas imperiales en el fondo de la bahía de San Francisco.... un sinsentido

[#162 --697332--]

#159 pues te respondería que no vale absolutamente para nada excepto si te apasiona la historia y quieres trabajar de profesor o en algún museo algún día.

No son conocimientos importantes , asi que no te preocupes por no saberlo , porque hay cosas más importantes a las que dedicar el tiempo que si merecen la pena.

Aprender historia es como estudiar la historia del cine, si te apasiona el tema , genial. Si no , para que lo vas a estudiar ? Te tiene quw gustar mucho este mundo para memorizar 1000000 fechas , batallitas , nombres , generales , etc etc.

Vuelvo a preguntar, son las funciones tan importantes?

[#163 grigori]

#160 Crees que lo sabes, pero no lo sabes desde el momento en que hablas de números reales "contiguos", de "siguiente" a un número real o del número real -0,000(infinitos ceros)001. El problema de que no lo entiendas no está en que estés hablando "informalmente", no van por ahí los tiros. El problema que tienes para entender que f(x)=1/x es continua viene simplemente de ahí, que crees que hay un número en el dominio de f "pegado" al 0 por la izquierda y otro número, muy alejado, "pegado" al 0 por la derecha (yo también estoy hablando informalmente) y no es así, estás empleando conceptos que sólo tiene sentido en números naturales, por ejemplo, sobre los números reales. He intentado explicarlo de 3 o 4 formas distintas y no hay manera, aunque reconozco que son conceptos abstractos y para nada te estoy llamando burro (lo digo porque mucha gente se ofende cuando simplemente le digo que no ha entendido algo, como si todos tuviéramos que entenderlo absolutamente todo, vamos).

Te vuelvo a hacer la pregunta: ¿en qué punto del dominio de f(x) es discontinua? Si finalmente entiendes qué es un número real, tu respuesta deberá ser "en ninguno". Si tu respuesta vuelve a ser que es discontinua en los puntos -0,000(infinitos ceros)001 y +0,000(infinitos ceros)0001, entonces me centraré en explicarte de nuevo por qué esos no son números reales ni, mucho menos, pertenecen al dominio de f; pero mientras no me confirmes que has entendido este paso previo, no tiene sentido que vaya al siguiente o que me vuelvas a insistir en que hay un "salto" y que por eso no es continua

[#164 Tensk]

#163 Ya me he explicado, no voy a repetirme. Te atreves a decir qué es lo que sé y lo que no sé, pues oye, no hay más que discutir.

[#165 grigori]

#164 Te atreves a decir qué es lo que sé y lo que no sé, pues oye, no hay más que discutir.

No es ningún "atrevimiento", me baso en lo que has dicho, si me dices que una lámpara es un recipiente para almacenar pelotas de tenis, pues me atreveré a decir que no sabes lo que es una lámpara

[#166 Tensk]

#165 Ya me he explicado. Sigues interpretando lo que te apetece. Nada, a tu bola.

[#167 grigori]

#166 Ya me he explicado

Sí, y yo ya te he explicado que estás equivocado

Sigues interpretando lo que te apetece

En Matemáticas hay poco lugar a la interpretación, por no decir ninguno; una función es continua o no es continua. La función f(x)=1/x es continua y tú dices que no, no hay lugar a la malinterpretación, simplemente estás equivocado

Nada, a tu bola.

Y tú a la tuya, o no quieres reconocer que te has equivocado o no tienes interés en aprender y entender por qué estás equivocado, en cualquier caso ahora sí que lo dejo

[#168 drocab2012]

Importa algo que sea continua o no continua? Es una función...

[#169 fingulod]

#49 ¿Podrias poner algún ejemplo de esas funciones? Y muchas gracias por los comentarios, está siendo de lo más interesante.

[#170 fingulod]

#168 Si, es importante porque muchas propiedades dependen de si es o no continua.

[#171 mizuiro]

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Estoy seguro de que se puede expresar mejor esto.

[#172 systembd]

#2 Pero ¿Por qué 0 no pertenece al dominio de la función 1/x? ¿Porque no nos gusta que sea +/- infinito?

[#173 MaRDuC]

#3 Pues sirve lo mismo que... por poner "Juego de Tronos".
De por sí no vale para nada, y sus discusiones tampoco.

Pero seguro que muchísima gente se ha conocido gracias a "Juego de Tronos", incluso es posible que gente que se haya conocido hayan tenido algún hijo... así que "Juego de Tronos" ha podido servir para que la gente tenga hijos...

El interés de la discusión... pues como "Juego de Tronos"... para los que les guste, les resulta lo más de interesante.

PD: Y sobre las matemáticas se apoyan multitud de ingenierías y ciencias... e influyen tanto en el correcto uso de dispositivos electrónicos que te mantienen conectado a internet... puentes para cruzar ríos... aviones para transportarte, etc.

[#174 grigori]

#171 La explicación de gaussianos está muy bien hasta que menciona la función g(x)=ln(x), que no aporta nada y, además, efectivamente, es erróneo decir que presenta una discontinuidad en x=0

[#175 grigori]

#172 El 0 no pertenece al dominio de la función porque la división de números reales no está definida cuando el denominador es 0, y no está definida porque la división de números reales es a su vez una función que está definida sobre R, y +infinito y -infinito no son números reales. Es decir, el 0 no pertenece al dominio de la función f(x)=1/x porque hemos definido así la función

[#176 Frontovik]

#153

[#177 Abu3es]

#17 Se agradece de verdad la explicación

[#178 maria1988]

#30 #28 Incluso hay funciones que son continuas y, sin embargo, no son derivables en ningún punto. O funciones que no son continuas en ningún punto de su dominio.

[#179 patata22]

#7 Cuando alguien construye un móvil como el tuyo, no ensambla piezas "a ver qué pasa". Prepara un diseño que está muy condicionado por modelos matemáticos. Y ahí es donde las funciones como esa entran en juego. El móvil será tan fiable como el modelo que se basa que a su vez necesita de buenas herramientas matemáticas. Más aún, los componentes que usa el móvil también han sido construidos y diseñados por otros ingenieros. Y serán tan fiables como sus modelos

[#180 gaussianos]

#171 Creo que está bien expresado, pero lo intento de otra forma: "la palabra 'discontinua' no siempre va asociado a 'no continua', aunque la propia palabra parezca indicar que sí". Por otra parte, después de esda frase intento explicar qué quiero decir con ella.

[#181 gaussianos]

#174 Creo que sí aporta: quería poner un ejemplo de otra función que no está definida en un punto, x=0, y de la cual no pensaríamos que no fuera continua. Viene asociado a una "pregunta" que me hago un poco antes.

[#182 gaussianos]

Buenas a todos.

Aunque @zurditorium y algunas personas más han explicado bastante bien el asunto a quienes han mostrados sus dudas y preguntas en los comentarios, voy a intentar explicar lo que yo creo que son los puntos que generan problemas a la hora de entender este tema.

Los dos puntos más importantes, de los cuales hablo en mi artículo y que además están íntimamente relacionados, creo que son los siguientes:

1. Pensamos que la definición de continuidad de una función en un intervalo real es que pueda dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
2. Pensamos que la palabra 'discontinuidad' es, automáticamente, 'no continuidad'.

Sobre la 2, entiendo que puede llevar a error, y posiblemente sería mejor usar otro término para los casos en los que el punto a estudiar no está en el dominio (y, por tanto, el estudio de la continuidad no procede). Una buena palabra podría ser "singularidad".

Sobre la 1, es evidente que el instituto tiene buena "culpa" de ello, aunque no creo que sea del todo desacertado. No es, ni mucho menos, el único caso en el que, en los comienzos del estudio de un concepto matemático, se usan "aproximaciones", "ideas intuitivas" o, directamente, pequeñas "mentiras" que se deben avisar en el momento y aclarar con el paso del tiempo.

Por otra parte, también la utilización de las palabras en nuestro lenguaje natural pueden llevarnos a error. No podemos pretender que lo que "nosotros" entendemos como "continuo" en nuestro día a día sea exactamente lo que dice la definición matemática en ese caso (o lo que debería decir). Las definiciones matemáticas son las que son, no las que nosotros queremos que sean. En este caso, a nivel superior la cuestión es topológica, y @zurditorium lo ha comentado en #2.

Por cierto, esto de que nuestro lenguaje habitual no coincide exactamente con el significado matemático pasa en más ocasiones, evidentemente (y esto seguro que también en otras áreas de conocimiento). Por poner un ejemplo simple: el "o" del lenguaje natural es una "disyunción exclusiva" (una de las opciones o la otra, pero no las dos), pero el "o" de las matemáticas es una "disyunción no exclusiva" (una de las opciones, la otra O LAS DOS). Y os aseguro que esto también provoca problemas de comprensión en algunas ocasiones (conjuntos, lógica, probabilidad...). Otro ejemplo que se me ocurre es el término "abierto". Y seguro que a vosotros se os ocurren muchos más, tanto en matemáticas como en otros campos.

Espero haber contribuido a aclarar un poco más esta cuestión.

[#183 grigori]

#181 Yo creo que, didácticamente, no aporta nada, porque x=0 está a la izquierda de la función f(x)=ln(x), mientras que x=0 está en el "medio" de la función f(x)=1/x, que es lo que entiendo que está liando a la gente.
Por otra parte, la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto" es desafortunada, cuando no errónea. El concepto de "función discontinua en un punto" creo que es formal, al igual que "función continua en un punto", al menos veo la definición en la Wikipedia y en multitud de páginas. La función f(x)=ln(x) no es discontinua en x=0, ni tampoco continua, ya que ese punto no pertenece al dominio de la función.

[#184 gaussianos]

#183 Es que igual la cosa es pensar que "discontinuidad" y "no continuidad" es lo mismo, y no. Yo no estoy hablando de "función no continua", sino de que "una función presente una discontinuidad". Por dar más detalles:

- La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.
- ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?

¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas? Más claro:

Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?

[#185 tranki]

Edit

[#186 grigori]

#184 Es que igual la cosa es pensar que "discontinuidad" y "no continuidad" es lo mismo, y no

Yo no estoy diciendo eso, "discontinuidad" y "no continuidad", efectivamente, no son lo mismo. "Discontinuidad" de la función en un punto implica que el punto pertenece al dominio de la función, "no continuidad" no implica que el punto pertenezca al dominio

- La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.

Estamos de acuerdo en esto. Añado aquí que la discontinuidad de una función también tiene sentido solamente en puntos del dominio.

- ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?

No

¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas?

¿Tiene que ver con qué? Yo lo que quiero decir es que nadie va a dudar de que f(x)=ln(x) es continua, por lo que no veo qué aporta ese ejemplo didácticamente. Tú mismo has dicho que lo que está liando a la gente es que ven que la gráfica de f(x)=1/x no puede escribirse sin levantar el lápiz del papel, mientras que f(x)=ln(x) sí se puede.

Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?

Claro. Por eso digo que no le veo sentido a la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". f(x)=ln(x) no es discontinua en ningún punto, y la afirmación que haces es falsa, según la definición de función discontinua en un punto. Es decir, "discontinuidad en un punto=>no continuidad en ese punto", mientras que "no continuidad en un punto/=>discontinuidad en el punto"

[#187 grigori]

#184 Olvida parte de lo que he dicho en el comentario anterior, en muchas páginas veo que en la definición de "función discontinua en un punto" se necesita que el punto pertenezca al dominio para que la función sea discontinua en él (es decir, definen función "discontinua en un punto" si la función está definida en ese punto, pero no se satisfacen las 3 condiciones de continuidad), pero estoy repasando la bibliografía de cálculo y veo que no es así

[#188 gaussianos]

#187 No sé si lo he dicho ya (he contestado a mucha gente estos días e igual me repito), pero comento cómo veo yo todos estos términos:

- Función no continua en un punto: el punto pertenece al dominio, pero la función no es continua en él.
- Función discontinua en un punto: no lo uso para no inducir al error (aunque en el caso de usarlo lo haría como sinónimo de "no continua").
- Función que presenta una discontinuidad en un punto: aquí meto los casos en los que la función es no continua en el punto y el caso en el que es un punto de acumulación que no pertenece al dominio y tiene sentido plantearse el cálculo de ambos límites laterales. En este último caso, si alguno de los límites laterales diverge, se tiene que la función presenta una discontinuidad en ese punto.

Repito que esto es lo que yo he sacado en claro como lo más adecuado, recomendable y/o descriptivo de todo lo que sé y de todo lo que he leído.

Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene.

Por otra parte, ya que has hablado de la bibliografía que tienes de cálculo me gustaría que comentaras qué libros son y qué es lo que dicen sobre este tema.

[#189 grigori]

#188 Uno de los problemas que tenemos con este tipo de cuestiones es que no haya un organismo que estandarice las definiciones y notaciones matemáticas.

En el Mardsen-Tromba, claramente dicen que el punto tiene que pertenecer al dominio para que sea discontinua en él. Y esta definición la verdad es que es la que me parece más adecuada e intuititiva, por analogía con la de función continua. Sin embargo, está claro que no es la única, de hecho esa definición se carga el concepto de "discontinuidad evitable" que se ve en muchos sitios y que incluyen puntos fuera del dominio. Las otras fuentes que he consultado son el Spivak, que tampoco aclara nada, y los apuntes de 1º y 2º de carrera, donde mencionan las discontinuidades evitables, de primera especie y de segunda especie; pero omiten la definición de "función discontinua en un punto".

La clasificación más completa que he visto está en la Wikipedia (y, aún así, define función continua y, como casi siempre, omite la definición de función discontinua). Distingue entre discontinuidad evitable y esencial y, dentro de esta última, de primera especie y de segunda especie. La novedad que veo aquí con respecto a los libros que tengo es que, en la de primera especie, distingue entre de salto finito, de salto infinito y asintótica.

es.wikipedia.org/wiki/Clasificación_de_discontinuidades

De la definición que das de "discontinuidad" después de recopilar varias fuentes, yo diría que sobra, al menos, la condición del punto de acumulación. En ese caso, yo no diría que es discontinua. Por otra parte, creo que es innecesario, por redundante, introducir conceptos topológicos para explicar las continuidades o discontinuidades en R, sobre todo teniendo en cuenta que muchos de los que participan en este tipo de hilos no son matemáticos.

En cualquier caso, aún con "tu" definición de función discontinua en un punto, no entiendo que digas "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". Si es discontinua en el punto, no puede ser continua en ese mismo punto. Si no ha sido una equivocación (¿quizás querías decir que la función es continua aunque tenga una discontinuidad en un punto?), entonces la definición que manejas de función discontinua en un punto es desacertada.

Con respecto al ejemplo de f(x)=ln(x), sigo sin ver cómo puede aclararles nada a los que creen que f(x)=1/x no es continua. En la primera, el punto x=0 está fuera del dominio y deja la gráfica a su derecha, igual que el punto x=-3, por ejemplo. Este caso no debería plantear dudas a nadie, pero es que tampoco veo que ayude a los que dicen que f(x)=1/x no es continua, ya que en este segundo caso, el punto fuera del dominio está en la "mitad" de la gráfica, por lo que sí ven un salto. En el artículo mencionas que también deberían ver un salto en f(x)=ln(x), pero no sé a qué salto te refieres, claramente puede dibujarse esta gráfica sin levantar el lápiz del papel (en el artículo pareces insinuar que no, no sé por qué). Sí, podría debatirse si hay una discontinuidad de salto en x=0 para ln(x), pero ese no es el tipo de "salto" que la gente ve en f(x)=1/x y que les hace creer que no es continua. Por tu último comentario, entiendo que el debate en f(x)=ln(x) está en la existencia, o no, de una discontinuidad de salto infinito, pero ese es otro tema, entiendo que más semántico que otra cosa. En cualquier caso, si me dices que el ejemplo de f(x)=ln(x) le ha ayudado a alguien a entender la continuidad de f(x)=1/x, entonces te creo

[#190 gaussianos]

#189 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto". Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto". Y no lo veo igual porque, precisamente para las de salto infinito, una función puede tener una discontinuidad de ese tipo pero no ser ni continua ni no continua en él porque, al no pertenecer al dominio, no tiene sentido plantearse la continuidad.

Ésa es la explicación, por segunda vez, de la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". En esos puntos, la función no es ni continua ni no continua, pero sí presenta una discontinuidad de salto infinito. Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Sobre el tema de f(x)=ln(x), creo que lo he dejado clarísimo en el comentario anterior. Te lo copio de nuevo:

"Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene."

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Espero que ya sí haya quedado claro y que no le sigamos dando vueltas a lo mismo. Un saludo.

[#191 grigori]

#190 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto".

Yo sí la he visto, al menos, como ya dije, en el Marsden-Tromba. En ese caso, además, se mojan también definiendo "función discontinua", a secas, como aquella función que es discontinua en algún punto de su dominio. Y ya digo que es la definición que me parece más lógica, aunque esto es opinable, claro

Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.

Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto"

Yo también repito que para mí tampoco es lo mismo "discontinuidad de una función en un punto" que "no continuidad en un punto", pero por distintos motivos que los tuyos: para mí discontinuidad implica que el punto pertenece al dominio de la función. Relee tu frase, lo que probablemente querías decir es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que sea no continua en dicho punto". Puede parecer lo mismo, pero no lo es, lo que estás diciendo es que podría darse simultáneamente una discontinuidad y una continuidad en el mismo punto, y eso es absurdo, independientemente de la definición de discontinuidad que tomes.

Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.

Eso si consideras que puede haber discontinuidades fuera del dominio de la función. Pero, en cualquier caso, yo me refería a que no es necesario siquiera introducir el concepto de "punto de acumulación"; los conceptos de número real, límite, función continua y discontinuidad deberían ser suficientes.

Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.

Yo creo, y al menos aquí en Menéame es lo que se ve, que la dificultad para entender la continuidad de 1/x está en que la gráfica de la función son 2 líneas separadas, hablando en plata, mientras que la de ln(x) es una única línea, por lo que esta última sí puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. En el artículo dices "se ve un salto que choca un poco con la noción intuitiva de continuidad que muchos tenemos: lo de que una función es continua si la puedo dibujar sin levantar el lápiz del papel". Yo no veo ese salto por ningún lado ni veo por qué choca con la noción de dibujar sin levantar el lápiz del papel. Entiendo que por "salto" te refieras a la discontinuidad de salto, pero eso no tiene nada que ver con el "salto" en la gráfica que hay en 1/x y que entiendo que es la que produce la confusión, al menos a la mayoría de la gente. Parece que te haya molestado que "critique" el ejemplo, y no veo por qué, ya dije que te creo si me dices que el ejemplo le ha ayudado a alguien

[#192 gaussianos]

#191 No me molesta que critiques el ejemplo, es lícito que lo hagas. Simplemente he intentado explicar varias veces por qué lo puse, y fue por la gente que piensa lo que te comenté antes (el tema de que el límite por la derecha de 0 diverja negativamente). Tú no lo ves así (de hecho, es lo que me parece correcto), pero otra gente sí tiene ese error, como ya he comentado antes. Lo que parece es que crees que ese ejemplo va dirigido a la gente que tiene claro ese tema, y evidentemente no es así.

Y volvemos a "la frase". Estás leyéndola con "tu "idea sobre función continua, discontinuidad, etc, y yo la escribí con "mi" idea sobre funcion continua, discontinudad, etc. Así que sí, la frase es exactamente como la redacté por primera vez, y tiene todo el sentido (aunque tú, por mucho que he intentado explicarlo, no se lo encuentres).

Creo que la conversación ha llegado a un punto muerto. Ha sido interesante para mí conversar sobre este tema.

Un saludo.

[#193 grigori]

#192 ¿Tu idea de discontinuidad permite que la función tenga una discontinuidad en un punto y al mismo tiempo sea continua en ese punto?. Porque justo eso es lo que estás diciendo... Dices que has intentado explicarlo "mucho", pero lo único que repites es que para ti no es lo mismo "discontinuidad" que "no continuidad", lo cual está más que claro, pero es que el problema no es ese.

[#194 gaussianos]

#193 No, no estoy diciendo eso. "Eso" es lo que tú has entendido, pero mi frase no dice eso.

Concretamente, dice lo siguiente:

"Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua".

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada. Ejemplo: f(x)=1/x. Tiene una discontinuidad en x=0, pero en ese punto no es ni continua ni no continua, simplemente "no es".

Tú vuelves a interpretar mi frase con "tu" visión de la continuidad, no con la mía.

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Un saludo.

[#195 grigori]

#194 "Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua"

Lo que has dicho ha sido, textualmente:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Precisamente el hecho de que pueda no ser ni continua ni discontinua en el punto es lo que hace incorrecta tu frase, te está liando la doble negación unido a que son tres posibles casos, no dos. No tiene nada que ver ni con "mi" visión de continuidad ni con "tu" división de continuidad, insisto una vez más. Sustituye "continua", "no continua" y "ni continua ni no continua" por "A", "B", "C", y lo verás más claro. Asumimos que "discontinua" se contradice con "A". La frase ahora es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea "A"". Si "no significa, necesariamente, que no sea A", significa que podría ser "A" (continua), lo cual parece que estamos de acuerdo en que es absurdo.

Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada

Pero es que tu frase también está abriendo la opción a que sí sea continua!!

Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.

Yo sí espero que ahora hayas entendido lo que quiero decir, porque parece que ni te molestas en leer lo que digo. Te estoy diciendo que no tiene nada que ver con tu idea de "discontinuidad" y sigues erre que erre con lo mismo. Te dije hace varios comentarios que, por supuesto, la función puede no ser ni continua ni discontinua en un punto, pero parece que ni me lees. Es un problema semántico, tu frase es incorrecta porque no expresa lo que crees que expresa.

[#196 gaussianos]

#195 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo. Esa interpretación que haces sobre el significado de mi frase es errónea, pero parece que tienes que añadirla para tener la razón (porque es evidente que yo no quiero decir eso, ni mi frase lo insinúa siquiera).

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Y eso es correcto solamente cuando existe f(a). Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'. Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo). Por eso digo que la frase en negrita no es necesariamente cierta (sólo lo es en algunos casos).

Si en mi frase

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

[#197 grigori]

#196 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo

Lo dice la frase

Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'

Por supuesto. El tema es que "no es ni continua ni no continua" => No es continua. Y tu frase está diciendo que sí puede ser continua

Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo)

Pero cómo que no??

cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

Cambiando significa por implica, la frase queda:

"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no implica, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"

Y el significado sigue siendo el mismo: no implica, necesariamente, que no sea continua => puede que sea continua. Joder, no lo veo tan difícil de entender... Ya que hablas de implicación y somos matemáticos, lo único ya que se me ocurre para que lo veas es que expreses la frase como proposición lógica y compruebes que es verdadera cuando la función es continua en el punto:

no(discontinua => no (continua))

discontinua=V
continua=V
no(continua)=F
V=>F = F
no(F) = V

Estoy usando "=" como símbolo de equivalencia. Como ves, la proposición es verdadera cuando la función es continua y discontinua en el punto, lo cual es absurdo.

[#198 gaussianos]

#197 Simplemente viendo esta respuesta a una expresión mía

"Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."

Tu frase no dice eso!!

estoy convencido de que no vas a entender (o "querer entender", ya no sé qué pensar) lo que quiero decir.

Aunque hace ya unos cuantos comentarios que empecé a pensar que igual estaba perdiendo el tiempo, he intentado en unas cuantas ocasiones que comprendas lo que quería decir, pero sigues empeñado en decir que "mi frase" lleva a pensar que f puede ser continua. Y no, eso es falso, ya que lo contrario de "no continua" no es "continua", sino que es "continua o nada" (porque hay 3 posibilidades, no dos, como parece que te sigues empeñando en afirmar). Pero bueno, después de la de veces que he intentado que lo veas no sé ni para qué intento aclarártelo otra vez.

Si nuestra conversación va a seguir dando vueltas como hasta ahora, por mí se ha terminado. Sea como sea, ha tenido su interés.

Un saludo.

[#199 grigori]

#198 No te esfuerces en explicar lo que querías decir, y céntrate en la puñetera frase que has dicho . Por supuesto que la negación de "es continua" es "no es continua" . Lo que no es una negación de "es continua" es "es no continua", eso es lo que ya te dije hace varios comentarios que es lo que te está liando. Si no es continua, puede que no sea nada o puede que sea otras mil otras cosas, pero lo que está claro es que continua no es, de la misma forma que lo contrario de "es rubio" es "no es rubio", lo cual no obliga a que sea moreno, sino que puede ser pelirrojo, castaño o incluso calvo (que sería el equivalente a no ser nada: ni rubio, ni moreno, ni continuo ni no continuo ).

Si quieres seguir con esto, Intenta expresar tu frase con predicados y proposición lógica, como hice yo, y entonces te lo explico a partir de ahí

[#200 gaussianos]

Lo he intentado, pero veo que no lo he conseguido.

Gracias por la conversación. Un saludo.